Il **circuito di carica e scarica di un condensatore** è un semplice circuito elettrico che coinvolge un [[Legge di Ohm|resistore]] (R) e un [[Condensatore|condensatore]] (C). Questo tipo di circuito è noto come **circuito RC.** ![[Pasted image 20250123170301.png]] *Il processo di carica e scarica fornisce un importante esempio di corrente non stazionaria in un circuito nel quale vi sono punti di accumulo della carica elettrica (le armature del condensatore), per cui l'[[Equazione di continuità della corrente elettrica|equazione di continuità della corrente elettrica]] $(\nabla \cdot \vec j =0)$ non è soddisfatta in tutti i punti del circuito.* #### Processo di carica (RC) *Quando il circuito è chiuso, la corrente comincia a fluire dalla fonte di alimentazione attraverso il resistore verso il condensatore. Il condensatore inizia ad accumulare cariche elettriche sulle sue piastre, creando una differenza di potenziale.* *La velocità con cui il condensatore si carica dipende dalla costante di tempo del circuito, definita come τ = R × C. Più grande è la costante, più tempo ci vuole per caricare completamente il condensatore.* *Il processo continua finché la tensione sul condensatore non raggiunge quella della fonte, a quel punto la corrente smette di fluire.* Consideriamo il circuito RC in serie *(figura sovrastante)*, composto da una resistenza R, un condensatore C, e un [[Generatore di tensione]] $V_0$. All'istante $t_0 = 0$, il condensatore è scarico e il circuito viene chiuso, permettendo alla corrente di fluire e al condensatore di caricarsi. Applicando la [[Leggi di Kirchhoff]] delle tensioni al circuito, otteniamo: $V_0 = V_R + V_C$ dove - $V_R = R \cdot i(t)$ --> è la tensione ai capi del resistore *(per [[Legge di Ohm]])* - $V_C = \frac{q(t)}{C}$ --> è la tensione ai capi del [[Condensatore]] - $i(t) = \frac{dq(t)}{dt}$ è la corrente nel circuito. Sostituendo queste espressioni nell'equazione di Kirchhoff, otteniamo: $V_0 = R \cdot \frac{dq(t)}{dt} + \frac{q(t)}{C}$ Questa è un'[[Equazioni differenziali lineari del primo ordine|equazione differenziale lineare del primo ordine]]. Per risolverla, possiamo separare le variabili e integrare: $\frac{dq(t)}{dt} + \frac{q(t)}{RC} = \frac{V_0}{R}$ La soluzione generale di questa equazione è: $\color{green}q(t) = C V_0 \left(1 - e^{-\frac{t}{RC}}\right)$ *Da cui si vede che la carica ha un andamento di tipo esponenziale crescente, fino a un valore limite $CV_0$* La carica q(t) aumenta esponenzialmente da 0 a $C V_0$ con una costante di tempo $\tau = RC$ . ##### Tensione ai capi del condensatore La tensione ai capi del condensatore \( V_C(t) \) è data da: $\color {green} V_C(t) = \frac{q(t)}{C} = V_0 \left(1 - e^{-\frac{t}{RC}}\right)$ *Da cui si vede che la tensione ha un andamento di tipo esponenziale crescente, fino a un valore limite $V_0$* La tensione $V_C(t)$ aumenta esponenzialmente da 0 a $V_0$ con la stessa costante di tempo $\tau = RC$ ##### Corrente nel circuito La corrente i(t) nel circuito è la derivata della carica rispetto al tempo: $\color {green} i(t) = \frac{dq(t)}{dt} = \frac{V_0}{R} e^{-\frac{t}{RC}}$ La corrente i(t) decresce esponenzialmente da $\frac{V_0}{R}$ a 0 con la costante di tempo $\tau = RC$ ##### Grafici - **Carica e tensione**: Entrambe seguono un andamento esponenziale crescente. - **Corrente**: Segue un andamento esponenziale decrescente. Si ottengono i seguenti grafici caratteristici, utilizzando i valori: - V_0=10 (volts) - R=1000 (ohms) - C=0.001 (farads) ![[Pasted image 20250128165115.png]] - Dopo t=τ, la corrente scende a circa il 37% del valore iniziale. - Dopo t=τ, la tensione raggiunge circa il 63% di V_0. #### Processo di scarica (RC) *Se si scollega la fonte e si chiude un percorso alternativo attraverso il resistore, il condensatore inizia a scaricarsi. Le cariche accumulate iniziano a fluire indietro attraverso il resistore, riducendo gradualmente la tensione sul condensatore. Anche qui, la velocità dipende dalla stessa costante di tempo τ = R × C.* *Il processo continua finché tutta l'energia immagazzinata non viene rilasciata e la tensione sul condensatore ritorna a zero.* Durante la scarica, la tensione ai capi del condensatore $V_C(t)$ è uguale alla tensione ai capi del resistore $V_R(t)$ Applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni, otteniamo: $V_C(t) = V_R(t)$ dove: - $V_R(t) = R \cdot i(t)$ - $i(t) = -\frac{dq(t)}{dt}$ *(il segno negativo indica che la carica diminuisce nel tempo)* - $V_C(t) = \frac{q(t)}{C}$ Sostituiamo queste espressioni nell'equazione: $\frac{q(t)}{C} = -R \cdot \frac{dq(t)}{dt}$ Riscriviamo l'equazione in forma differenziale: $\frac{dq(t)}{dt} + \frac{q(t)}{RC} = 0$ Questa è un'equazione differenziale lineare del primo ordine. La soluzione generale è: $\color {green} q(t) = q_0 \cdot e^{-\frac{t}{RC}}$ dove $q_0 = C V_0$ è la carica iniziale sul condensatore. Tensione e corrente hanno invece i seguenti andamenti $\color{green} V_C(t) = \frac{q(t)}{C} = V_0 \cdot e^{-\frac{t}{RC}}$ *Nell'andamento della corrente il segno negativo indica che la corrente fluisce in direzione opposta rispetto alla carica.* $ \color{green} i(t) = -\frac{dq(t)}{dt} = \frac{V_0}{R} \cdot e^{-\frac{t}{RC}}$