Immaginiamo una [[Carica elettrica|carica]] puntiforme Q situata nell'origine, e una sfera di raggio r con al centro la carica. In ogni punto della sfera il [[Campo elettrico]] è diretto radialmente e ha lo stesso modulo $E(r)=kQ/r^2$ Se moltiplichiamo il valore del campo per l'area della superficie della sfera, otteniamo una grandezza chiamata **flusso del campo attraverso la superficie** che non dipende da r $\Phi (E)= \frac {Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}4\pi r^2= \frac Q{\epsilon_0}$ ![[Pasted image 20250113115347.png]] *Vediamo quindi che il campo elettrico diminuisce con il quadrato della distanza, compensando esattamente l'incremento di superficie.* Il risultato così ottenuto può essere generalizzato a superfici di forma generica e si traduce nella **Legge di Gauss per il campo elettrostatico:** =="Il flusso del campo elettrostatico attraverso una generica superficie chiusa è uguale alla carica contenuta all'interno del volume delimitato dalla superficie diviso la costante dielettrica del vuoto."== $ \color {green} \Phi_\Sigma (\vec E)= \oint_\Sigma \vec E\cdot \vec u_N \; d\Sigma = {Q_i}/{\epsilon_0}$ *Da un punto di vista grafico possiamo affermare che il flusso è nullo se il numero di linee di campo che entrano nel volume eguaglia il numero di linee uscenti, positivo se c'è un eccesso di linee uscenti, negativo altrimenti.* *Possiamo poi concludere che la carica contenuta nel volume in questione nei tre casi deve essere rispettivamente nulla, positiva o negativa.* Si possono quindi fare alcune importanti osservazioni: - *Il flusso del campo elettrico attraverso una generica superficie chiusa che delimita una regione dello spazio al cui interno la somma delle cariche è nulla è uguale a zero - *Di conseguenza, se il flusso del campo è nullo, la somma delle cariche positive eguaglia la somma delle cariche negative, la carica totale è nulla - *Il campo elettrico in ogni punto della superficie è prodotto tanto dalle cariche interne che da quelle esterne ma le cariche esterne non contribuiscono in alcun modo al flusso* #### Espressione Locale della Legge di Gauss (Divergenza del campo elettrostatico) Possiamo utilizzare l'operatore [[Operatori vettoriali|divergenza]] per esprimere la **legge di Gauss in forma locale** $ \nabla \cdot \vec E = lim_{\Sigma ->0}\frac {\Phi_\Sigma (E)}{\tau}=\frac {d\Phi_\Sigma (\vec E)}{d\tau} $ *La versione locale della legge di Gauss esprime una relazione puntuale, valida cioè su regioni dello spazio piccole a piacere.* Ci stiamo chiedendo cosa succede nel momento in cui consideriamo un volume di dimensioni infinitesime $d\tau$ contenente una carica infinitesima $dQ=\rho d\tau$ Nel caso del campo elettrico possiamo quindi sostituire il flusso con la relazione fornita dalla legge di Gauss $d{\Phi_\Sigma (E)}=\frac {dQ}{\epsilon_0}=\frac{\rho d\tau}{\epsilon_0} $ Ottenendo quindi la seguente **espressione in forma locale della legge di Gauss per il campo elettrostatico** che collega la divergenza del campo elettrico alla densità di cariche elettriche nel punto in cui essa viene calcolata $ \color {green} \nabla \cdot \vec E = \frac \rho {\epsilon_0}$ *Dove:* - *$\nabla \cdot \mathbf{E}$ è la divergenza del campo elettrico* - *$\rho$ è la densità volumetrica di carica.* - *$\varepsilon_0$ è la costante dielettrica nel vuoto.* ==L'equazione indica che la divergenza del campo elettrico in un punto dello spazio è direttamente proporzionale alla densità di carica in quel punto.== *In altre parole, le sorgenti del campo elettrico (cariche positive) generano un flusso divergente, mentre i pozzi (cariche negative) generano un flusso convergente.* *La legge di Gauss in forma locale: • È valida solo per cariche distribuite in modo continuo. • È una conseguenza del teorema di Gauss, che afferma che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è proporzionale alla carica totale racchiusa dalla superficie. • Può essere utilizzata per calcolare il campo elettrico generato da una distribuzione di carica nota. **Applicazioni** 1. **Calcolo dei Campi Elettrici**: La legge di Gauss viene utilizzata per calcolare campi elettrici in situazioni con simmetria elevata (sferica, cilindrica, piana). 2. **Analisi dei Materiali Dielettrici**: Nella presenza di materiali dielettrici, l'espressione locale della legge di Gauss si modifica per includere la polarizzazione. 3. **Progettazione Elettromeccanica**: Essenziale nella progettazione e analisi dei dispositivi elettromeccanici come condensatori e cavi. ##### Esempio Pratico Consideriamo una distribuzione uniforme di carica all'interno di una sfera conduttrice. Utilizzando l'espressione locale della legge di Gauss, possiamo determinare il campo elettrico sia all'interno che all'esterno della sfera: - All'interno (\(r < R\)): Il campo elettrico è zero poiché le cariche sono distribuite sulla superficie. - All'esterno (\(r > R\)): Il campo si comporta come se tutta la carica fosse concentrata al centro.