Il **potenziale** è una funzione scalare che descrive l'[[Energia potenziale elettrica]] posseduta da una carica elettrica unitaria dovuta alla forza elettrica conservativa cui è sottoposta nel campo elettrico generato da una data sorgente. $ \color {orange} V(\vec r)=\frac {U_q}q = \sum_{i=1}^N \frac {Q_i}{4\pi \epsilon_0 r'_i } $ Si misura in **Volt (V)** in onore al fisico italiano Alessandro volta $ \color {orange} 1V= 1J/C = 1N \cdot m/C $ Il potenziale è dunque una funzione scalare delle coordinate che dipende esclusivamente dalla distribuzione spaziale e dal valore delle cariche che compongono la sorgente. Possiamo quindi affermare che svolge per il calcolo dell'energia di interazione tra una sorgente e un oggetto il ruolo che il [[Campo elettrico]] svolge per il calcolo della forza elettrica. Il campo elettrico è un [[Campo conservativo]], per cui la forza è l'opposto del gradiente dell'energia potenziale, per il campo elettrostatico e il potenziale elettrostatico vale quindi la relazione: $ \color {green} \vec E = \vec F/q = -\nabla U_q/q = -\nabla V $ La quale ci porta ad affermare che il **vettore campo elettrico è l'opposto del gradiente del potenziale scalare.** #### Potenziale su distribuzioni di carica La tensione in un qualsiasi campo conservativo tra due generici punti A e B dipende esclusivamente dalle coordinate dei punti prescelti, indipendentemente dal percorso seguito; questo consente di definire la differenza di potenziale tra A e B nel caso elettrostatico secondo la relazione: $ V(B)-V(A) = -\int_A^B \vec E \cdot d\vec s$ Per calcolare il potenziale in maniera più pratica si usa scegliere un punto di riferimento O' a cui si assegna arbitrariamente il potenziale nullo $V(O')=0$, *questo punto viene di solito identificato come un punto lontano all'infinito, dato che il campo elettrostatico decresce con il quadrato della distanza.* A questo punto si definisce il **potenziale in un generico punto dello spazio P** come la tensione del campo elettrostatico tra P e O' $ \color {orange} V(P)= V(P)-V(O')= - \int_{O'}^P \vec E \cdot d\vec s $ *L'unità di misura del campo elettrico (N/C) può anche essere vista come V/m come risulta essere utile in alcune applicazioni.* +++ Utilizzando la precedente formula è possibile calcolare il **potenziale prodotto da una carica puntiforme Q situata nell'origine in un punto P identificato dal raggio vettore OP.** $ V(P)= - \int_{O'}^P \vec E \cdot d\vec s = - \int_{O'}^P\frac Q{4\pi \epsilon_0 r^2}\vec u_r \cdot d\vec s = \frac Q{4\pi \epsilon_0 r}=V(r)$ Il risultato ottenuto si può estendere facilmente ad un **sistema di N cariche** adottando una opportuna sommatoria $ V(\vec r) = \frac 1{4\pi \epsilon_0 r} \sum_{i=1}^N \frac {Q_i}{r'_i}$ *Per valutare invece il potenziale per un caso continuo di cariche basterà passare a una sommatoria di elementi infinitesimi, ovvero un integrale.* **Carica distribuita in un volume $V(\vec r) = \frac 1{4\pi \epsilon_0} \int \frac {dQ}{r-r'} = \frac 1{4\pi \epsilon_0} \int \frac {\rho(x',y',z')}{r-r'} d\tau$ Carica distribuita in una superficie $ V(\vec r) = \frac 1{4\pi \epsilon_0} \int \frac {dQ}{r-r'} = \frac 1{4\pi \epsilon_0} \int \frac {\sigma(x',y',z')}{r-r'} d\Sigma $ Carica distribuita in un filo** $V(\vec r) = \frac 1{4\pi \epsilon_0} \int \frac {dQ}{r-r'} = \frac 1{4\pi \epsilon_0} \int \frac {\lambda(x',y',z')}{r-r'} ds$ #### Visuals --- <div class="iframe-container"> <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/w82aSjLuD_8?si=sKJ_kMnP0fZ6unbq" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe> </div> [Voltage Explained](https://youtu.be/w82aSjLuD_8?si=8coeb2EQvcEoX21F)