Consideriamo il moto di un **fluido ideale** *(fluido incomprimibile privo di attriti interni)*, ossia di un fluido con viscosità nulla, sottoposto alla sola forza di gravità. Il [[Teorema delle forze vive|teorema dell’energia cinetica]] porta ad una semplice ma molto importante relazione, nota come **Teorema di Bernoulli:** ==“In ogni punto di un fluido ideale in moto stazionario e sottoposto alla forza di gravità, la somma della pressione, dell’energia cinetica specifica e dell’energia potenziale specifica è costante.”== $ \color {green} \Delta p+\Delta E_{k}+\Delta E_p=0 \quad => \quad p+(1/2)\rho v^2+\rho gh=costante $ La somma H_x dei tre termini energetici del fluido, energia potenziale, di flusso e cinetica, relativi ad una sezione generica x, prende il nome di **carico sulla sezione x**: $\color{orange} H_x=gz_x+P_xV+\frac 12 v_x^2$ Generalizzando il moto in per condizione di **deflusso irreversibile**, il **Teorema di Bernoulli** ci dice che ==il carico non si conserva ma va diminuendo nel senso del moto.== Perciò R_12 viene denominata **perdita di carico.** $\color {green} H_1=H_2+R_{12}$ **Se invece il moto è reversibile**, si ha: $\color {green} H_1=H_2 \quad => \quad \quad p+(1/2)\rho v^2+\rho gh=costante$ ==Dunque nel moto reversibile **il carico si conserva**.== ##### Dimostrazione Si consideri l'[[Equazione di conservazione dell’energia in regime stazionario e deflusso unidimensionale|equazione di conservazione dell’energia in regime stazionario e deflusso unidimensionale]]: $\color {green} Q-L= \Delta h + \Delta E_{ps} + \Delta E_{ks}$ esplicitata: $\color {green} Q-L+\bigg( h_1+\frac 12 v_1^2 +gz_1\bigg)-\bigg( h_2+\frac 12 v_2^2 +gz_2\bigg)=0 $ questa, in forma differenziale, può scriversi: $dQ-dL-dh-gdz-\frac 12 dv^2=0$ Sostituendo l'[[Entalpia|entalpia]] ($dh = TdS+VdP$) si scrive $dQ-dL-TdS-VdP-gdz-\frac 12 dv^2=0$ Per un processo irreversibile, l'[[Entropia|entropia]] totale cambia secondo la relazione: $dS = \frac{dQ}{T} + dS_{irr}$ da cui si ricava: $dQ = TdS - TdS_{irr}$ Sostituendo **dQ** nell'equazione iniziale si ottiene: $dL+Tds_{irr}+VdP+gdz+\frac 12 dv^2=0$ Integrando fra le sezioni 1 e 2, sempre con riferimento al deflusso della massa unitaria: $L+\int_1^2 Tds_{irr}+\int_1^2VdP+g(z_2-z_1)+\frac 12 (v_2^2-v_1^2)=0$ Se si introduce poi il termine: - $R_{12}=\int_1^2 Tds_{irr}$ = **perdita di carico** fra le sezioni 1 e 2 Allora si può scrivere l'**equazione di Bernoulli** nella forma: $\color {green} L+R_{12}+\int_1^2VdP+g(z_2-z_1)+\frac 12 (v_2^2-v_1^2)=0$ *Questa è l'espressione analitica dell’equazione di Bernoulli, generalizzata alla situazione di fluido comprimibile, deflusso irreversibile e presenza di una macchina fra le sezioni 1 e 2 in grado di scambiare il lavoro L.* Se infatti si ammette che il volume specifico sia costante (V=cost) allora ne consegue che: - L=0 - $\int_1^2VdP = V\int_1^2dP=VP_2-VP_1= V(P2-P1)$ Sostituendo i termini: $\color {green}R_{12}+V(P2-P1)+g(z_2-z_1)+\frac 12 (v_2^2-v_1^2)=0$ Riordinando si ottiene: $gz_1+P_1V+\frac 12 v_1^2=gz_2+P_2V+\frac 12 v_2^2+ R_{12}$ La somma Hx dei tre termini energetici del fluido, energia potenziale, di flusso e cinetica, relativi ad una sezione generica x, prende il nome di **carico sulla sezione x**: $\color{orange} H_x=gz_x+P_xV+\frac 12 v_x^2$ In virtù di tale definizione: $\color {green} H_1=H_2+R_{12}$ ==Ci dice che, in **condizioni di deflusso irreversibile**, il carico non si conserva ma va diminuendo nel senso del moto. Perciò R_12 viene denominata **perdita di carico.**== **Se invece il moto è reversibile**, si ha: $\color {green} H_1=H_2 \quad => \quad \quad p+(1/2)\rho v^2+\rho gh=costante$ ==Dunque nel moto reversibile **il carico si conserva**.== ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Fisica Tecnica#Risorse#Bibliografia]] --- > [!example] Playlist > ![[!Fisica Tecnica#Risorse#Teorema di Bernoulli]]