Il **centro di massa** è il punto geometrico che rappresenta la posizione media delle masse di un sistema, pesata in base al valore di ciascuna massa. Esso permette di descrivere il comportamento dinamico globale di un sistema complesso come se tutta la sua massa fosse concentrata in un unico punto. Il centro di massa, indicato spesso con $G$ o $CM$, è individuato da un [[!Algebra|vettore posizione]] che dipende dalla distribuzione della materia nello spazio. In un campo gravitazionale costante, esso coincide con il **baricentro**, ovvero il punto di applicazione della forza peso risultante. ### Posizione del centro di massa Per un sistema di $n$ punti materiali di massa $m_i$, la posizione del centro di massa è data dal vettore posizione: $O G = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{n} m_{i} O P_{i}$ dove $m = \sum m_i$ è la massa totale. Per un corpo continuo, utilizzando il [[!Analisi|calcolo integrale]]: $O G = \frac{\int_{\mathscr{B}} O P dm}{m}$ Scrivendo in funzione della [[!Meccanica Razionale|densità di massa]] $\varrho$ si può scrivere anche: $O G = \frac{\int_{\mathscr{B}} \varrho O P d \tau}{\int_{\mathscr{B}} \varrho d \tau}$ essendo $m = {\int_{\mathscr{B}} \varrho d \tau}$ #### Baricentro vs centro di massa È importante distinguere matematicamente tra il concetto di **baricentro** e quello di **centro di massa:** - **Baricentro**: rappresenta il centro geometrico del corpo e dipende esclusivamente dalla sua forma. La formula non tiene conto della densità: $OG_{bar} = \frac{1}{V} \int_{\mathscr{B}} OP d\tau$ - **Centro di massa**: rappresenta il punto in cui si può considerare concentrata l'intera massa del corpo ai fini del calcolo del moto traslatorio. La formula pesa ogni elemento di volume per la sua densità: $OG_{cm} = \frac{1}{m} \int_{\mathscr{B}} \varrho OP d\tau$ **Relazione tra i due:** Nel caso di un corpo a **densità uniforme** ($\varrho = \text{costante}$), la densità può essere portata fuori dall'integrale e semplificata con la massa totale ($m = \varrho V$): $OG_{cm} = \frac{\varrho \int_{\mathscr{B}} OP d\tau}{\varrho V} = \frac{1}{V} \int_{\mathscr{B}} OP d\tau = OG_{bar}$ In questo scenario specifico, il centro di massa e il baricentro geometrico **coincidono**. Se la densità non è uniforme, il centro di massa tenderà a spostarsi verso le zone del corpo con densità maggiore. #### Simmetrie materiali e proprietà La posizione di $G$ è una proprietà intrinseca del corpo e non dipende dal [[Coordinate cartesiane|sistema di riferimento]] scelto. Se l'origine coincide con $G$, vale la relazione $ \begin{equation*} \sum_{i=1}^{n} m_{i} G P_{i}=m G G=\mathbf{0} \end{equation*} $ Le simmetrie materiali semplificano drasticamente la ricerca di $G$: - Se un corpo ammette un **piano di simmetria materiale**, il baricentro appartiene a tale piano. - Se un corpo ammette un **asse di simmetria**, il baricentro giace su tale asse. - In un sistema omogeneo, il baricentro coincide con il centro geometrico della figura. ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Quale è la differenza tra baricentro e centro di massa? - [ ] Quali sono le proprietà del baricentro? *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ##### Esempi ed esercizi **Risolvere i seguenti esempi ed esercizi:** - [ ] Esempi | Biscari - [ ] Baricentro di una corona circolare - [ ] Baricentro di un triangolo - [ ] Proprietà di sottrazione - [ ] Esercizi lezione 37 | Turzi *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!example] Playlist > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Centro di massa]]