L'**energia potenziale** è una grandezza scalare associata alla configurazione spaziale di un sistema fisico soggetto all'azione di [[forze conservative]]. ### Forze conservative e funzione potenziale Ogni qualvolta un sistema è soggetto a una [[Forze conservative|forza conservativa]], il lavoro elementare $dL$ compiuto dalla forza per uno spostamento infinitesimo coincide con il differenziale esatto di una funzione scalare $U(P)$, definita come *potenziale*: $ dL = dU $ In termini di coordinate cartesiane, le componenti della forza coincidono con le derivate parziali del potenziale: $ F_x = \frac{\partial U}{\partial x}, \quad F_y = \frac{\partial U}{\partial y}, \quad F_z = \frac{\partial U}{\partial z} $ Il [[Lavoro e potenza|lavoro]] complessivo per andare da un punto $P_1$ a un punto $P_2$ si ottiene tramite l'[[!Analisi#7) Integrale|integrale]] di linea e dipende esclusivamente dalle posizioni iniziale e finale, risultando indipendente dal percorso seguito: $\color {green} L = \int_{P_1}^{P_2} dU = U(P_2) - U(P_1) $ Di conseguenza, il lavoro compiuto da una forza conservativa lungo qualsiasi cammino chiuso è identicamente nullo. #### Derivata direzionale del potenziale Considerando una curva $\gamma$ parametrizzata tramite la sua [[ascissa curvilinea]] $s$, la derivata direzionale del potenziale $U$ lungo la curva si ottiene applicando la regola della catena: $ \frac{dU}{ds} = \frac{\partial U}{\partial x}\frac{dx}{ds} + \frac{\partial U}{\partial y}\frac{dy}{ds} + \frac{\partial U}{\partial z}\frac{dz}{ds} = \mathbf{F} \cdot \mathbf{t} = F_t $ ![[Pasted image 20260508154519.png]] La derivata direzionale del potenziale coincide quindi con la componente tangenziale della forza lungo la traiettoria. ### Energia Potenziale In fisica, è convenzione introdurre l'**energia potenziale** $V$ (o $E_p$) come l'opposto della funzione potenziale: $ \color {orange} V = -U $ La variazione di energia potenziale $\Delta V$ tra due punti $A$ e $B$ è quindi definita come l'opposto del lavoro compiuto dalla forza: $\color {green} \Delta V = V(B) - V(A) = -L_{AB} = -\int_A^B \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} $ Se un corpo è soggetto contemporaneamente a più forze conservative, per il **principio di sovrapposizione**, l'energia potenziale totale è la somma algebrica delle energie potenziali associate a ciascuna forza. #### Potenziali di forze notevoli La forma analitica dell'energia potenziale dipende dalla natura della forza conservativa in esame: ##### **Forze costanti** Se la forza è costante in modulo, direzione e verso ($\mathbf{F} = \mathbf{F}_0$), il potenziale si ricava dal [[Prodotto scalare]] tra la forza e il vettore posizione: $U(P) = \mathbf{F}_0 \cdot OP + C$. Un esempio classico è la [[Forza peso]]. Fissando un asse verticale $y$ orientato verso l'alto, l'energia potenziale gravitazionale in prossimità della superficie terrestre è: $ V(y) = mgy + C $ *dove C è una costante.* ##### **Forze centrali** Una [[Forza centrale]] è sempre diretta lungo la congiungente tra il punto di applicazione $P$ e un polo fisso $O$, e il suo modulo dipende solo dalla distanza $r = |OP|$. $ \mathbf{F} = \Psi(r)\mathbf{u} $ con $\mathbf{u}=\frac{O P}r$ Il potenziale di una forza centrale si ottiene integrando la funzione radiale $\Psi(r)$: $ U(r) = \int \Psi(r) dr + C $ ![[Pasted image 20260508154528.png]] Due esempi fondamentali di forze centrali sono: - **Forza elastica**: $\mathbf{F} = -k \cdot OP$. L'energia potenziale elastica associata è $V(r) = \frac{1}{2}kr^2$. - **Forza gravitazionale**: $\mathbf{F} = -\frac{GmM}{r^2}\mathbf{u}$. L'energia potenziale associata è $V(r) = -\frac{GmM}{r}$. ### Esempi ed esercizi *Immagina l'energia potenziale come il "denaro" depositato in un conto bancario gravitazionale o elastico. Quando sollevi uno zaino pesante per portarlo in cima a una montagna, stai compiendo un lavoro contro la gravità. Questo lavoro non va perso, ma viene "depositato" nello zaino sotto forma di energia potenziale.* *Non importa se hai scalato una parete verticale o se hai preso un sentiero a spirale molto lungo: il saldo del tuo conto (l'energia potenziale) dipende solo dall'altitudine finale raggiunta. Se lasci cadere lo zaino, la gravità "preleva" quell'energia potenziale e la converte in energia cinetica, facendolo accelerare verso il basso.* ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Dimostrare matematicamente perché il lavoro compiuto da una forza conservativa lungo un percorso chiuso è sempre nullo. - [ ] Qual è la relazione geometrica tra le linee di forza di un campo conservativo e le sue superfici equipotenziali? *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ##### Esempi ed esercizi **Risolvere i seguenti esempi ed esercizi:** - [ ] Calcolare il lavoro compiuto dalla forza peso per spostare una massa di $5 \text{ kg}$ da un'altezza di $10 \text{ m}$ a un'altezza di $2 \text{ m}$ lungo un piano inclinato, utilizzando il teorema dell'energia potenziale. - [ ] Data una forza bidimensionale $\mathbf{F} = (2xy)\mathbf{i} + (x^2)\mathbf{j}$, verificare se è conservativa e, in caso affermativo, determinarne la funzione energia potenziale $V(x,y)$. - [ ] Un corpo di massa $m$ è collegato a una molla di costante elastica $k$ su un piano orizzontale. Calcolare la variazione di energia potenziale elastica quando la molla viene compressa da $x_1 = 0.1 \text{ m}$ a $x_2 = 0.3 \text{ m}$. *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]