Le **equazioni cardinali della meccanica** costituiscono i principi fondamentali per lo studio della dinamica dei sistemi materiali e dei corpi rigidi. Esse mettono in relazione le cause del moto, ovvero le forze e i momenti esterni, con le variazioni dello stato cinematico globale del sistema, permettendo di disaccoppiare lo studio del moto traslatorio da quello rotatorio. #### Forze interne ed esterne Per formulare le equazioni cardinali, è indispensabile suddividere le forze agenti su un sistema in due categorie: - **Forze interne ($\mathbf{F}^{(i)}$)**: forze di interazione reciproca tra i punti materiali appartenenti al sistema - **Forze esterne ($\mathbf{F}^{(e)}$)**: forze esercitate sul sistema da agenti esterni ad esso Per il [[Principi della meccanica|principio di azione e reazione]], le forze interne si presentano sempre in coppie di braccio nullo, uguali e opposte. Di conseguenza, il risultante delle forze interne $\mathbf{R}^{(i)}$ e il momento risultante delle forze interne $\mathbf{M}^{(i)}$ rispetto a qualsiasi polo sono identicamente nulli: $ \mathbf{R}^{(i)} = \sum \mathbf{F}_i^{(i)} = \mathbf{0}, \quad \mathbf{M}_O^{(i)} = \sum (P_i - O) \times \mathbf{F}_i^{(i)} = \mathbf{0} $ Questo fatto cruciale implica che l'evoluzione globale del sistema dipende esclusivamente dalle sollecitazioni esterne. ### Prima equazione cardinale (Teorema della quantità di moto) La **prima equazione cardinale** governa il moto traslatorio del sistema. Essa stabilisce che la [[Derivata|derivata]] rispetto al tempo della [[Forza e quantità di moto|quantità di moto]] totale $\mathbf{Q}$ del sistema è pari al risultante delle forze esterne $\mathbf{R}^{(e)}$ ad esso applicate: $ \color {green} \mathbf{R}^{(e)} = \frac{d\mathbf{Q}}{dt} $ Poiché la quantità di moto totale può essere espressa in funzione della velocità del [[Centro di massa|centro di massa]] $G$ come $\mathbf{Q} = M \mathbf{v}_G$ (dove $M$ è la massa totale), l'equazione assume la forma del **Teorema del moto del baricentro**: $\color {green} \mathbf{R}^{(e)} =M\frac{d\mathbf{v_G}}{dt}= M \mathbf{a}_G $ Questo teorema afferma un principio di straordinaria potenza: il centro di massa di un sistema complesso si muove esattamente come un singolo punto materiale in cui sia concentrata tutta la massa del sistema e a cui sia applicata la risultante di tutte le forze esterne. ==Le forze interne possono deformare il sistema o farlo ruotare, ma non possono in alcun modo alterare la traiettoria del suo centro di massa.== In particolare si definisce **sistema isolato** un sistema sul quale non agiscono forze esterne, in un sistema di questo tipo la quantità di moto è costante. ##### Dimostrazione Consideriamo l'equazione fondamentale della dinamica per l'i-esimo punto materiale del sistema, separando le forze agenti su di esso in interne ed esterne: $ \mathbf{F}_{i}^{(i)} + \mathbf{F}_{i}^{(e)} = m_{i} \mathbf{a}_{i} $ La prima equazione cardinale si ottiene semplicemente sommando le equazioni del moto di tutti gli $n$ punti del sistema: $ \sum_{i=1}^{n} \mathbf{F}_{i}^{(i)} + \sum_{i=1}^{n} \mathbf{F}_{i}^{(e)} = \sum_{i=1}^{n} m_{i} \mathbf{a}_{i} $ Per il principio di azione e reazione, la risultante delle forze interne è nulla ($\mathbf{R}^{(i)} = \sum \mathbf{F}_{i}^{(i)} = \mathbf{0}$). Il secondo termine rappresenta invece la risultante delle forze esterne $\mathbf{R}^{(e)}$. Riscrivendo il termine a destra dell'uguaglianza in funzione della velocità $\mathbf{v}_i$, otteniamo: $ \mathbf{R}^{(e)} = \sum_{i=1}^{n} m_{i} \frac{d\mathbf{v}_{i}}{dt} = \frac{d}{dt} \sum_{i=1}^{n} m_{i} \mathbf{v}_{i} = \frac{d\mathbf{Q}}{dt} $ Ricordando la definizione di centro di massa $G$, sappiamo che $\mathbf{Q} = M\mathbf{v}_G$, da cui deriva immediatamente anche la forma $\mathbf{R}^{(e)} = M\mathbf{a}_G$. ### Seconda equazione cardinale (Teorema del momento angolare) La seconda equazione cardinale descrive l'evoluzione del moto rotatorio. Essa stabilisce che il momento risultante delle forze esterne $\mathbf{M}_\Omega^{(e)}$ calcolato rispetto a un polo $\Omega$ (in moto con velocità $\mathbf{v}_\Omega$) è uguale alla derivata temporale del [[Momento di un vettore|momento angolare]] $\mathbf{K}_\Omega$ sommata vettorialmente al [[Prodotto vettoriale|prodotto vettoriale]] tra la velocità del polo e la quantità di moto del sistema: $ \color {green} \mathbf{M}_\Omega^{(e)} = \frac{d\mathbf{K}_\Omega}{dt} + (\mathbf{v}_\Omega \times \mathbf{Q}) $ Questa equazione generale si semplifica notevolmente se si sceglie il polo $\Omega$ in modo intelligente, annullando il termine correttivo $\mathbf{v}_\Omega \times \mathbf{Q}$. Ciò avviene in tre casi specifici: 1. Il polo $\Omega$ è fisso in un sistema di riferimento inerziale ($\mathbf{v}_\Omega = \mathbf{0}$). 2. Il polo $\Omega$ coincide con il centro di massa $G$ ($\mathbf{v}_\Omega = \mathbf{v}_G$, quindi il prodotto vettoriale è nullo essendo i vettori paralleli). 3. La velocità del polo è parallela alla velocità del centro di massa. ==In questi casi, l'equazione assume la forma semplificata:== $ \color{green} \mathbf{M}_\Omega^{(e)} = \frac{d\mathbf{K}_\Omega}{dt} $ Nel caso specifico di un [[corpo rigido]] vincolato a ruotare attorno a un asse fisso $z$, proiettando l'equazione lungo tale asse e introducendo il [[Momento d'inerzia|momento d'inerzia]] $I_z$, si ottiene l'equazione: $ \color {green} M_z^{(e)} = I_z \alpha $ dove $\alpha$ è l'[[Velocità e accelerazione angolari|accelerazione angolare]] del corpo. ##### Dimostrazione Partiamo nuovamente dall'equazione di moto dei singoli punti: $\mathbf{F}_{i}^{(i)} + \mathbf{F}_{i}^{(e)} = m_{i} \mathbf{a}_{i}$. Scelto un polo generico $\Omega$ (in moto con velocità $\mathbf{v}_\Omega$), calcoliamo il momento delle forze rispetto a tale polo moltiplicando vettorialmente ambo i membri per il vettore posizione $(P_i - \Omega)$: $ (P_i - \Omega) \times \left(\mathbf{F}_{i}^{(i)} + \mathbf{F}_{i}^{(e)}\right) = (P_i - \Omega) \times m_{i} \mathbf{a}_{i} $ Sommando su tutti gli $n$ punti del sistema, otteniamo: $ \overbrace{\sum_{i=1}^{n} (P_i - \Omega) \times \mathbf{F}_{i}^{(i)}}^{\mathbf{M}_{\Omega}^{(i)} = \mathbf{0}} + \overbrace{\sum_{i=1}^{n} (P_i - \Omega) \times \mathbf{F}_{i}^{(e)}}^{\mathbf{M}_{\Omega}^{(e)}} = \sum_{i=1}^{n} (P_i - \Omega) \times m_{i} \mathbf{a}_{i} $ Il primo termine si annulla poiché, per il principio di azione e reazione, il momento risultante delle forze interne è nullo. L'equazione si riduce quindi a: $ \mathbf{M}_{\Omega}^{(e)} = \sum_{i=1}^{n} (P_i - \Omega) \times m_{i} \frac{d\mathbf{v}_{i}}{dt} $ Ora manipoliamo il termine a destra. Calcoliamo la derivata temporale del momento angolare $\mathbf{K}_\Omega = \sum (P_i - \Omega) \times m_i \mathbf{v}_i$: $ \frac{d\mathbf{K}_\Omega}{dt} = \sum_{i=1}^{n} \left[ \frac{d(P_i - \Omega)}{dt} \times m_{i} \mathbf{v}_{i} \right] + \sum_{i=1}^{n} \left[ (P_i - \Omega) \times m_{i} \frac{d\mathbf{v}_{i}}{dt} \right] $ Poiché $\frac{d(P_i - \Omega)}{dt} = \mathbf{v}_i - \mathbf{v}_\Omega$, il primo termine della somma diventa: $ \sum_{i=1}^{n} (\mathbf{v}_i - \mathbf{v}_\Omega) \times m_{i} \mathbf{v}_{i} = \sum_{i=1}^{n} \underbrace{(\mathbf{v}_i \times m_{i} \mathbf{v}_{i})}_{=\mathbf{0}} - \mathbf{v}_\Omega \times \sum_{i=1}^{n} m_{i} \mathbf{v}_{i} = - \mathbf{v}_\Omega \times \mathbf{Q} $ Sostituendo questo risultato nella derivata di $\mathbf{K}_\Omega$, otteniamo: $ \frac{d\mathbf{K}_\Omega}{dt} = - (\mathbf{v}_\Omega \times \mathbf{Q}) + \sum_{i=1}^{n} (P_i - \Omega) \times m_{i} \mathbf{a}_{i} $ Isolando la sommatoria e sostituendola nell'equazione dei momenti trovata in precedenza, arriviamo alla tesi: $ \mathbf{M}_{\Omega}^{(e)} = \frac{d\mathbf{K}_\Omega}{dt} + (\mathbf{v}_\Omega \times \mathbf{Q}) $ ### Integrali primi del moto Le equazioni cardinali permettono di individuare immediatamente delle quantità conservate (*integrali primi*) quando le sollecitazioni esterne presentano particolari simmetrie o nullità: - **Conservazione della quantità di moto**: Ogni volta che una delle componenti del risultante delle forze esterne sia nulla, la corrispondente componente della quantità di moto si conserva: $ \color {green} \mathbf{R}^{(\mathrm{e})} \cdot \mathbf{e}_{j}=0 \quad \Longrightarrow \quad \mathbf{Q} \cdot \mathbf{e}_{j}=Q_{j}=m v_{G j} \equiv \text { costante } $ - **Conservazione del momento angolare**: Se una delle componenti del momento risultante delle forze esterne rispetto a un polo $\Omega$ è nulla, ovvero tale che $\dot{\Omega} \wedge \mathbf{Q}=\mathbf{0}$. Allora la corrispondente componente del momento delle quantità di moto rispetto ad $\Omega$ si conserva: $ \color {green} \mathbf{M}_{\Omega}^{(\mathrm{e})} \cdot \mathbf{e}_{j}=0 \quad \Longrightarrow \quad \mathbf{K}_{\Omega} \cdot \mathbf{e}_{j}=K_{\Omega j} \equiv \text { costante } $ ### Esempi ed esercizi Per visualizzare le equazioni cardinali, immagina un tuffatore che salta da un trampolino. Una volta in aria, l'unica forza esterna che agisce su di lui è la gravità (trascurando l'attrito dell'aria). - Per la *prima equazione cardinale*, il suo centro di massa descriverà una perfetta parabola verso l'acqua, indipendentemente da come muove braccia e gambe. - Per la *seconda equazione cardinale*, calcolata rispetto al suo centro di massa, il momento della forza peso è nullo (poiché la forza peso è applicata proprio nel baricentro). Di conseguenza, il suo momento angolare si conserva. Se il tuffatore si raggruppa (diminuendo il proprio momento d'inerzia), la sua velocità di rotazione aumenterà per mantenere costante il momento angolare, permettendogli di eseguire acrobazie aeree. ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Enuncia e dimostra la prima equazione cardinale della dinamica. Perché le forze interne non compaiono nell'equazione finale? - [ ] Scrivi la seconda equazione cardinale rispetto a un polo mobile generico. Quali sono le condizioni sul polo affinché il termine correttivo si annulli? - [ ] Cosa si intende per "integrale primo del moto"? Fai un esempio legato alle equazioni cardinali. *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ##### Esempi ed esercizi **Risolvere i seguenti esempi ed esercizi:** - [ ] Disco non omogeneo che rotola su di una guida | Biscari - [ ] Sistema formato da due punti con tre molle | Biscari - [ ] Esempi ed esercizi | Lezioni 31-32 Turzi *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]