Il **lavoro** è una grandezza scalare, misurata in **Joule (J)**, che quantifica l'energia trasferita a un sistema dall'azione di una forza lungo uno spostamento. La **potenza**, misurata in **Watt (W)**, è invece il lavoro compiuto per unità di tempo. ### Lavoro elementare e potenza Si definisce **lavoro elementare** $dL$ lo scalare risultante dal [[Prodotto scalare|prodotto scalare]] tra il vettore [[Forza e quantità di moto|forza]] $\mathbf{F}$ e lo spostamento infinitesimo $d\mathbf{P}$: $ \color {orange} dL = \mathbf{F} \cdot d\mathbf{P} $ La **potenza** $P(t)$ è la [[Derivata|derivata]] temporale del lavoro. Esprimendo lo spostamento in funzione del tempo, la potenza istantanea assume la forma: $ \color {green}P(t) = \frac{dL}{dt} = \mathbf{F} \cdot \mathbf{v} $ dove $\mathbf{v}$ è la velocità del punto di applicazione. La dimostrazione è immediata essendo $\mathbf v= \frac {d\mathbf P}{dt}$ #### Il Lavoro come forma differenziale In un sistema di coordinate cartesiane, il lavoro elementare può essere espresso come una [[Forme differenziali|forma differenziale]]: $ dL = F_x dx + F_y dy + F_z dz $ Il calcolo del lavoro lungo un cammino finito tra due punti $A$ e $B$ richiede la risoluzione di un [[Integrale alla Riemann|integrale di linea]] lungo la traiettoria descritta dal moto: $ L_{AB} = \int_A^B \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} $ Le proprietà di questo integrale dipendono strettamente dalla natura matematica della forma differenziale $dL$. #### Condizioni di integrabilità Una forma differenziale si dice **esatta** se esiste una funzione scalare $f$ (detta [[Energia potenziale|potenziale]]) tale che le sue derivate parziali coincidano con le componenti della forza. Affinché ciò avvenga, per il [[Teorema di Schwartz]], le derivate incrociate delle componenti della forza devono essere uguali: $ \frac{\partial F_i}{\partial x_j} = \frac{\partial F_j}{\partial x_i} \quad \forall i \neq j $ In termini vettoriali, questo equivale a richiedere che il campo di forze sia irrotazionale, ovvero abbia rotore nullo ($\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}$). Se il dominio è semplicemente connesso, questa condizione è sufficiente per garantire che la forza generi un [[Campo conservativo|campo conservativo]]. In tal caso, il lavoro elementare è un differenziale esatto e il lavoro finito dipende esclusivamente dai punti iniziale e finale, non dal percorso seguito: $\color {green} L_{AB} = f(B) - f(A) $ ### Dipendenza dal moto e classificazione delle forze Il calcolo del lavoro dipende strettamente dalla natura della forza applicata e dalle variabili da cui essa dipende. #### Forze costanti Se la forza è costante in modulo, direzione e verso lungo tutto il percorso, l'integrale si semplifica nel prodotto scalare tra la forza e il vettore spostamento complessivo $\Delta\mathbf{s}$: $\color {green} L_{AB} = \mathbf{F} \cdot \Delta\mathbf{s} = F \Delta s \cos \theta $ #### Forze posizionali Una forza si dice posizionale se dipende esclusivamente dalla posizione del punto di applicazione, $\mathbf{F} = \mathbf{F}(P)$. - Se la forza posizionale è conservativa, vale la relazione di indipendenza dal percorso vista in precedenza. Per cui possiamo calcolare il lavoro come $L_{AB} = f(B) - f(A)$ - Se la forza posizionale **non** è conservativa, il lavoro dipende dalla specifica [[Curve|traiettoria]] che congiunge i punti $A$ e $B$. Tuttavia, parametrizzando la curva tramite l'[[Ascissa curvilinea|ascissa curvilinea]] $s$, si dimostra che il lavoro dipende solo dalla geometria della traiettoria e non dalla legge oraria con cui essa viene percorsa. Per cui possiamo calcolare il lavoro tramite $L_{AB} = \int_A^B \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s}$ #### Forze generali e dissipative Nel caso più generale, una forza può dipendere dalla posizione, dalla velocità e dal tempo: $\mathbf{F} = \mathbf{F}(P, \mathbf{v}, t)$. In questo scenario, il lavoro elementare non è mai un differenziale esatto. Per calcolare il lavoro totale è necessario conoscere l'intero moto, ovvero sia la traiettoria che la legge oraria. Un caso notevole è quello delle forze dissipative, come la [[Forza d'attrito|forza d'attrito]]. Per queste forze, la potenza sviluppata è sempre minore o uguale a zero ($P(t) \le 0$). Di conseguenza, il lavoro totale compiuto lungo qualsiasi cammino chiuso non banale è strettamente negativo, comportando una perdita netta di energia meccanica del sistema. ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Cosa è il lavoro elementare? Cosa è la potenza? - [ ] Caratterizza il lavoro nel caso di una forza posizionale e dimostra la condizione di integrabilità per una forma differenziale esatta | Biscari 6.1 *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ##### Esempi ed esercizi **Risolvere i seguenti esempi ed esercizi:** - [ ] Esempi ed esercizi | Lezione 34 Turzi *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]