Le **leggi di Keplero** descrivono cinematicamente il moto dei pianeti del sistema solare. Esse rappresentano il fondamento della meccanica celeste, stabilendo la natura centrale del moto e la geometria ellittica delle orbite. - ==**Prima Legge (Legge delle orbite)**: I pianeti percorrono orbite ellittiche, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi.== - ==**Seconda Legge (Legge delle aree)**: Il raggio vettore che congiunge un pianeta al Sole spazza aree uguali in tempi uguali.== - ==**Terza Legge (Legge dei periodi)**: Il quadrato del periodo di rivoluzione (T) è proporzionale al cubo del semiasse maggiore (a) dell'ellisse== $\color {green} T^2 = k a^3$ *essendo $k=2,97\cdot10^{-19}\frac {s^2}{m^3}$ la costante di Keplero.* ![[960px-Kepler's_Laws.jpg]] *[Kepler_laws_diagram](https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Kepler%27s_Laws.jpg), Spacenasa, [CC BY-SA 4.0](https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0), via Wikimedia Commons* #### Carattere centrale del moto Le prime due leggi permettono di classificare il moto planetario come un [[Moto sotto forze centrali|moto centrale]]. La prima legge stabilisce che il **moto è piano**, condizione necessaria per la conservazione del [[Momento di una forza e Momento angolare|momento angolare]]. La seconda legge è la prova dinamica che la forza agente è una [[Forza centrale|forza centrale]] diretta verso il Sole. Infatti, la **[[velocità areolare]]** è legata al modulo del momento angolare specifico $c$ dalla relazione: $v_A = \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \dot{\theta} = \frac{c}{2}$ Poiché $v_A$ è costante, anche $c$ è costante, il che implica che il momento della forza rispetto al Sole è nullo. #### Geometria delle orbite In [[Moto piano in coordinate polari|coordinate polari]], un'[[Coniche|ellisse]] riferita a uno dei suoi fuochi è descritta dall'equazione: $\hat{r}(\theta) = \frac{p}{1 + e \cos \theta}$ dove $p = b^2/a$ è il parametro ed $e = \sqrt{1 - b^2/a^2}$ è l'eccentricità dell'ellisse. #### Accelerazione radiale Utilizzando la [[Moto sotto forze centrali|formula di Binet]] nell'equazione dell'ellisse, è possibile ricavare l'espressione dell'accelerazione radiale: $\color {green} a_r = -\frac{c^2}{r^2} \left[ \frac{d^2}{dt^2} \left( \frac{1}{r} \right) + \frac{1}{r} \right] = -\frac{c^2}{p r^2}$ Esprimendo la **costante delle aree** $c$ in funzione del periodo $T$ e dell'area totale dell'ellisse $A_{tot} = \pi a b$: $c=2 \dot{A}=2 \frac{A_{\mathrm{tot}}}{T}=2 \frac{\pi a b}{T} \implies a_r = -4 \pi^2 \left( \frac{a^3}{T^2} \right) \frac{1}{r^2}$ La terza legge di Keplero afferma che $a^3/T^2$ è una costante $K$ universale per il sistema solare. Pertanto, l'accelerazione è inversamente proporzionale al quadrato della distanza: $\color {green} a_r = -K/r^2$ Indicando con $O$ la posizione del Sole e con $P$ quella di uno qualunque dei suoi pianeti, di massa m , la forza che il Sole esercita sul pianeta è quindi $\color {green} \mathbf{F}=-\frac{K m}{r^{2}} \mathbf{u}, \quad \text { con } \quad \mathbf{u}=\frac{1}{r} O P $ Questo risultato costituisce la base per la formulazione della [[Forza gravitazionale|legge di gravitazione universale]]. ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]