Il momento d'inerzia è una grandezza [[!Algebra|scalare]] che misura l'inerzia di un corpo rispetto alle variazioni del suo stato di rotazione attorno a un asse. Esso rappresenta, nella dinamica rotazionale, l'analogo della [[Geometria delle masse|massa]] nella dinamica traslazionale. Il momento d'inerzia quantifica la resistenza che un sistema materiale oppone a una accelerazione angolare. Tale valore non dipende solo dalla massa totale del sistema, ma anche dalla sua distribuzione rispetto all'asse di rotazione considerato. Per un sistema discreto di punti materiali, il momento d'inerzia rispetto a un asse $a$ è definito dalla somma dei prodotti delle singole masse per il quadrato della loro [[!Geometria|distanza]] $r$ dall'asse: $ I_z=\sum m_ir_i^2 $ Per un [[Corpo rigido|corpo rigido]] continuo, si utilizza la [[Centro di massa|densità di massa]] $\varrho$ per scrivere il momento d'inerzia *(chiamato anche integrale d'inerzia)* come $I_a = \int_{\mathscr{B}} \varrho r^2 d\tau$ Le dimensioni fisiche del momento d'inerzia sono $[ML^2]$. #### Momenti d'inerzia assiali Considerando un sistema di [[Coordinate cartesiane|coordinate cartesiane]] $(x, y, z)$, i momenti d'inerzia rispetto agli assi coordinati si calcolano integrando il quadrato della distanza dall'asse specifico: - **Asse x**: $I_x = \int_{\mathscr{B}} \varrho (y^2 + z^2) d\tau$ - **Asse y**: $I_y = \int_{\mathscr{B}} \varrho (x^2 + z^2) d\tau$ - **Asse z**: $I_z = \int_{\mathscr{B}} \varrho (x^2 + y^2) d\tau$ #### Raggio di Girazione Il **raggio di girazione** (o raggio giratore) $\delta_a$ rappresenta la distanza dall'asse alla quale si dovrebbe concentrare l'intera massa $M$ del sistema per ottenere il medesimo momento d'inerzia: $\delta_a = \sqrt{\frac{I_a}{M}} \implies I_a = M \delta_a^2$ ![[Pasted image 20240704123454.png|400]] Per i corpi omogenei, si definisce il **momento d'inerzia geometrico** $i_a = \frac{I_a}{\varrho}$ Questa grandezza permette di analizzare le proprietà inerziali basandosi esclusivamente sulla geometria del corpo, indipendentemente dal materiale di cui è composto. #### Calcolo del momento d'inerzia Per trovare il momento d'inerzia in alcune situazioni particolari di notevole interesse pratico si utilizzano dei teoremi che ne semplificano il calcolo: - [[Teorema di Huygens-Steiner|Momenti di inerzia rispetto ad assi paralleli]] - **[[Momenti di inerzia rispetto ad assi concorrenti]]** ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Che cosa si intende per integrale d'inerzia? *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ##### Esempi ed esercizi **Risolvere i seguenti esempi ed esercizi:** - [ ] Esercizi lezione 38 | Turzi *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!example] Playlist > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Momento d'inerzia]]