Il momento di una forza e il momento angolare sono grandezze [[Vettori|vettoriali]] che descrivono l'attitudine di una sollecitazione a generare una rotazione e lo stato di moto rotatorio di un sistema, analogamente a quanto fanno [[Forza e quantità di moto]] per le traslazioni. Per un punto materiale $P$ di massa $m$ e velocità $\mathbf{v}$, le grandezze riferite a un polo $O$ sono definite tramite il prodotto vettoriale: - **Momento della forza**: $\color {orange} \mathbf{M}_O = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$ - **Momento angolare (o della quantità di moto)**: $\color {orange} \mathbf{L}_O = \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v}$ Dove $\mathbf{r}$ è il vettore posizione $OP$. Il modulo del momento della forza può essere espresso come $\color {green}M = F \cdot b$ dove $b$ è il braccio della forza (distanza minima tra il polo e la retta d'azione della forza). #### Teorema del Momento Angolare La variazione temporale del momento angolare è legata al momento delle forze esterne dalla seguente relazione: $ \color {green} \mathbf{M}_O = \frac{d\mathbf{L}_O}{dt} $ Questa uguaglianza è valida se il polo $O$ è fisso in un sistema di riferimento inerziale. Se la risultante dei momenti è nulla ($\mathbf{M}_O = \mathbf{0}$), il momento angolare si conserva ($\Delta \mathbf{L}_O = \mathbf{0}$). #### Momento assiale Il **momento assiale** $M_a$ di una forza $\mathbf{f}$ rispetto a un asse $a$ (individuato dal versore $\mathbf{u}$) rappresenta la proiezione del momento polare sulla direzione dell'asse stesso. Si calcola come il [[Prodotto misto|prodotto misto]] tra il vettore posizione, la forza e il versore dell'asse: $\color {orange} M_a = \mathbf{M}_O \cdot \mathbf{u} = (P - O) \wedge \mathbf{f} \cdot \mathbf{u}$ dove $O$ è un punto qualsiasi appartenente all'asse $a$. **Proprietà:** - **Indipendenza dal polo**: La definizione è ben posta perché il valore di $M_a$ non dipende dalla scelta dello specifico punto $O$ sull'asse. Se si sceglie un altro punto $Q$ sull'asse, il termine aggiuntivo $(Q - O) \wedge \mathbf{f} \cdot \mathbf{u}$ è nullo poiché $(Q - O)$ è parallelo a $\mathbf{u}$. - **Scomposizione della forza**: Solo la componente della forza perpendicolare all'asse ($\mathbf{f}^\perp$) contribuisce al momento assiale. La componente parallela ($\mathbf{f}^\parallel$) non genera rotazione attorno all'asse, rendendo nullo il relativo prodotto misto. - **Relazione con il momento polare**: Il vettore [[Momento di un vettore|momento]] $\mathbf{M}_O$ può essere visto come l'insieme dei tre momenti assiali calcolati rispetto agli assi coordinati $x, y, z$ passanti per $O$. $ M_{x}=\mathbf{M}_{O} \cdot \mathbf{i}, \quad M_{y}=\mathbf{M}_{O} \cdot \mathbf{j}, \quad M_{z}=\mathbf{M}_{O} \cdot \mathbf{k}, $ ### Dinamica dei sistemi e cambio di polo Per un sistema di punti materiali e per un corpo continuo, il momento angolare totale $\mathbf{K}_Q$ rispetto a un polo $Q$ è la somma (o l'[[Integrale alla Riemann|integrale]]) dei momenti dei singoli elementi: $\color {orange} \begin{equation*} \mathbf{K}_{Q}=\sum_{i=1}^{n} \mathbf {Q P}_{i} \wedge m_{i} \mathbf{v}_{i} \quad \text { o } \quad \mathbf{K}_{Q}=\int_{\mathcal{B}} \mathbf {Q P} \wedge \varrho \mathbf{v} d \end{equation*} $ nel caso, rispettivamente, di un sistema discreto o di un corpo continuo. #### Legge del cambiamento di polo ==Il valore del momento angolare dipende strettamente dalla scelta del polo.== La relazione tra due poli $A$ e $B$ è data da: $ \mathbf{K}_B = \mathbf{K}_A + \vec{BA} \times \mathbf{Q} $ Dove $\mathbf{Q}$ è la [[Forza e quantità di moto|quantità di moto]] totale del sistema. Se $\mathbf{Q} = \mathbf{0}$, il momento angolare è un vettore invariante, indipendente dal polo scelto. Questo risultato è utile per dimostrare il fondamentale [[Teorema di König]], che rappresenta lo strumento principale per l'analisi del momento angolare di un sistema discreto o continuo #### Derivata temporale del momento delle quantità di moto La derivata temporale del momento delle quantità di moto vale, nel caso di sistemi discreti $ \begin{equation*} \dot{\mathbf{K}}_Q=-\dot{Q} \wedge m \mathbf{v}_G+\sum_{i=1}^n Q P_i \wedge m_i \mathbf{a}_i \end{equation*} $ ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Dimostra la legge del cambiamento di polo - [ ] Dimostra il teorema di Koenig per il momento angolare (nel caso di sistemi discreti e nel caso di corpo rigido) - [ ] Come può essere scomposto il momento angolare rispetto al baricentro? - [ ] Dimostra come si arriva alla derivata temporale del momento delle quantità di moto | Biscari *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ##### Esempi ed esercizi **Risolvere i seguenti esempi ed esercizi:** - [ ] Esempi ed esercizi | Lezione 43 Turzi *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!example] Playlist > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Momento angolare]]`