Nel **moto esponenzialmente smorzato** si ha una decelerazione, il cui modulo è proporzionale alla velocità istantanea, è un moto la cui velocità decresce seguendo un andamento esponenziale. Un esempio di moto esponenzialmente smorzato è quello del moto di un corpo sottoposto all'azione di una **forza di attrito viscosa**, ovvero una forza proporzionale alla velocità ma con direzione opposta $\color {orange} F_v=-kv(t)$ L'accelerazione può essere quindi ricavata dalla seconda legge della dinamica $F=ma=-kv(t) => a=-\frac km v(t)$ Considerando la massa m del corpo costante, possiamo introdurre la **costante di smorzamento** $\beta = k/m$, che dipende dalle caratteristiche fisiche del problema, e scrivere $a(t)=-\beta v(t)$ A questo punto, ricordando la definizione di accelerazione]], possiamo trovare l'espressione della velocità in funzione del tempo risolvendo l'equazione differenziale $\frac {dv}{dt}=-\beta v \quad => \frac {dv}{v}=-\beta dt$ Risolvendo ora tramite integrazione per separazione delle variabili si ottiene $\int_{v_0}^v \frac {dv}{v}=-\beta \int_0^t dt \quad => \quad [lnv]^v_{v_0}=-\beta t \quad => \quad ln\frac v{v_0}=-\beta t $ Quindi $\frac v{v_0}=e^{-\beta t} \quad => \quad v(t)=v_0e^{-\beta t}$ Esplicitando ora la costante di smorzamento *beta = k/m* arriviamo al risultato $\color {green}v(t)=v_0e^{-\frac km t}$ Possiamo quindi sintetizzare le **leggi di spostamento velocità e accelerazione** nel seguente modo: $ \color {green}\begin {cases} a(t)= -kv(t) \\ v(t)= \int a(t)dt = v_0e^{-kt} \\ x(t)= \int v(t)dt = s_0 + \frac {v_0}{k}(1-e^{-kt})\\ \end {cases} $