Un **pendolo semplice** è un sistema fisico ideale costituito da una **massa puntiforme**, sospesa a un **filo inestensibile e senza massa**, che oscilla sotto l'azione della sola forza di gravità. È un esempio classico di [[Moto armonico]] semplice, che si verifica quando le oscillazioni sono di piccola ampiezza. 1. **Configurazione di partenza**: Il pendolo è inizialmente in posizione di equilibrio quando la massa è direttamente sotto il punto di sospensione, con il filo perfettamente verticale. 2. **Spostamento dalla posizione di equilibrio**: Se la massa viene spostata lateralmente e poi lasciata andare, inizierà a oscillare avanti e indietro rispetto alla posizione di equilibrio. 3. **Forze in gioco**: - **Gravità**: La forza gravitazionale agisce sempre verso il basso. - **Tensione del filo**: La tensione nel filo agisce lungo la direzione del filo stesso e mantiene la massa vincolata al suo percorso circolare. 4. **Movimento oscillatorio**: - Quando la massa si sposta lateralmente, la componente tangenziale della forza gravitazionale causa un'accelerazione che fa sì che la massa ritorni verso la posizione di equilibrio. - Una volta superata questa posizione a causa dell'inerzia, il pendolo continua a muoversi fino a raggiungere un'altezza simile dall'altro lato, dove l'energia potenziale è massima e l'energia cinetica è minima. - Questo ciclo si ripete generando un moto oscillatorio. #### Moto del pendolo semplice: **Assunzioni:** 1. Il filo è inestensibile e di lunghezza L. 2. La massa m è puntiforme. 3. Gli angoli di oscillazione sono piccoli (approssimazione dell'angolo piccolo). ![[Pasted image 20250110125911.png]] ##### 1. Forze in gioco: - La forza peso $\vec{F_g} = m \vec{g}$ - La tensione nel filo $\vec{T}$ ##### 2. Movimento lungo la traiettoria: Utilizzando la seconda legge di Newton nella direzione tangenziale al percorso circolare, otteniamo: $m a_t = -mg \sin(\theta)$ Dove: - a_t è l'accelerazione tangenziale. - g è l'accelerazione gravitazionale. - \theta è l'angolo rispetto alla verticale. Per piccoli angoli, possiamo approssimare: $\sin(\theta) \approx \theta$ *L'approssimazione delle piccole oscillazioni assume che l'angolo massimo rispetto alla verticale sia sufficientemente piccolo da poter approssimare il seno dell'angolo con l'angolo stesso (in radianti).* ##### 3. Accelerazione tangenziale: L'accelerazione tangenziale è legata all'accelerazione angolare tramite la relazione: $a_t = L \frac{d^2\theta}{dt^2}$ Sostituendo nell'equazione del moto, otteniamo: $m L \frac{d^2\theta}{dt^2} = -mg\theta$ Semplificando: $L \frac{d^2\theta}{dt^2} + g\theta = 0$ ##### 4. Equazione differenziale del moto: Dividendo per L, otteniamo l'equazione differenziale per il pendolo semplice: $\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\theta = 0$ Questa è un'equazione differenziale lineare omogenea di secondo ordine con soluzione generale della forma: $\color {green} \theta(t) = \theta_0 \cos(\omega t + \phi)$ Dove: - $\theta_0$ è l'ampiezza dell'oscillazione *(determinata dalle condizioni iniziali)* - $\phi$ è la fase iniziale. *(determinata dalle condizioni iniziali)* - $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$ è la pulsazione naturale del pendolo. - t è il tempo. ##### 5. Periodo del pendolo Il tempo impiegato per una completa oscillazione (andata e ritorno) è chiamato periodo T. Per piccole oscillazioni, il periodo dipende solo dalla lunghezza del filo L e dall'accelerazione gravitazionale g, ed è dato dalla formula: $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ *Questo implica che il periodo è indipendente dalla massa del pendolo e dall'ampiezza dell'oscillazione.* ==La misura del periodo di oscillazione fatta in questo modo rappresenta un metodo classico per determinare l'accelerazione di gravità, in quanto la lunghezza del filo e il periodo sono misurabili.== --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!Info]- Legenda dei simboli > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Legenda]] --- > [!example] Playlist > `![[!Meccanica Razionale#Risorse#Argomento]]`