Il teorema delle forze vive (o dell'energia cinetica) stabilisce che il lavoro totale compiuto dalle forze agenti su un sistema eguaglia la variazione della sua [[Energia cinetica]]. Esso fornisce un'equazione scalare del moto che permette spesso di studiare la dinamica del sistema escludendo le reazioni vincolari incognite. ### Formulazione in termini di potenza Le [[Equazioni cardinali della meccanica]] presentano il vantaggio di collegare il moto del sistema alle sole forze esterne. Esiste però un'ulteriore equazione che collega il moto alle sole forze attive, eliminando dalla trattazione le [[Reazioni vincolari]]. **Teorema dell'energia cinetica:** Sia $T$ l'energia cinetica di un sistema e sia $\Pi$ la [[Lavoro e potenza|potenza]] totale esplicata da tutte le forze agenti sul sistema. Allora vale la relazione: $ \color {green} \dot{T} = \Pi $ ##### **Dimostrazione** Consideriamo un sistema discreto di punti materiali. Per il generico punto $P_i$, l'equazione fondamentale della dinamica è $m_i \mathbf{a}_i = \mathbf{F}_i$, dove $\mathbf{F}_i$ è la risultante di tutte le forze agenti su $P_i$. Moltiplicando scalarmente ambo i membri per la velocità $\mathbf{v}_i$ otteniamo: $ m_i \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{v}_i = \mathbf{F}_i \cdot \mathbf{v}_i $ Il membro di destra coincide con la potenza delle forze su $P_i$. Il membro di sinistra è la derivata temporale dell'energia cinetica del punto: $ m_i \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{v}_i = m_i \frac{d\mathbf{v}_i}{dt} \cdot \mathbf{v}_i = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} m_i \mathbf{v}_i \cdot \mathbf{v}_i\right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} m_i v_i^2\right) $ Sommando su tutti i punti del sistema, si ottiene l'asserto $\dot{T} = \Pi$. #### Analisi della potenza per tipologia di forza Per sfruttare appieno il teorema, è fondamentale analizzare il contributo di specifiche categorie di forze: 1. **Potenza delle reazioni vincolari:** La potenza esplicata da ogni vincolo ideale, bilatero e fisso è rigorosamente nulla. In presenza di tali vincoli (es. cerniere fisse, appoggi lisci, puro rotolamento), il teorema diventa un'equazione "pura", dipendente solo dalle forze attive. 2. **Potenza delle forze interne:** Siano $\mathbf{F}_{ij}^{(i)}$ le [[Forze interne ed esterne|forze interne]] scambiate tra i punti. La loro potenza complessiva è legata alla variazione delle mutue distanze: $ \Pi^{(i)} = \frac{1}{2} \sum_{i<j} \frac{\varphi_{ij}^{(i)}}{|P_j P_i|} \frac{d(P_j P_i)^2}{dt} $ Di conseguenza, in un [[Atto di moto rigido]] (dove le distanze relative sono costanti), la potenza delle forze interne è identicamente nulla. 3. **Potenza delle forze attive conservative:** Se le forze attive sono [[Forze conservative]], esse ammettono un [[Energia potenziale|potenziale]] $U$. La potenza da esse sviluppata coincide con la derivata temporale del potenziale: $ \Pi = \dot{U} $ ### Formulazione in termini di lavoro Il teorema può essere espresso in forma integrale, collegando la variazione di energia cinetica in un intervallo di tempo al **[[Lavoro e potenza|lavoro]]** $W$ compiuto dalla sollecitazione totale. **Teorema del lavoro:** $\color {green} W = \Delta T = T_f - T_i $ dove $T_i$ e $T_f$ sono rispettivamente l'energia cinetica iniziale e finale del corpo. ##### Dimostrazione Il Teorema del lavoro è una diretta conseguenza del legame tra lavoro e potenza. Il lavoro lungo un cammino finito, svoltosi tra i tempi $t_{1}, t_{2}$ vale $ \color {green} L=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \Pi(t) d t=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \dot{T}(t) d t=\Delta T $ Il teorema si può anche dimostrare partendo dalla seconda legge di Newton. 1. **Consideriamo la seconda legge di Newton:** La forza netta agisce su un corpo ed è uguale al prodotto della massa del corpo e la sua accelerazione: $\vec F = m\vec a$ 2. **Espressione del lavoro:** Il lavoro fatto dalla forza durante uno spostamento infinitesimale ds lungo il percorso è dato da: $dW = \vec F\cdot d\vec s = ma\cos(\theta) \cdot ds= ma_Tds$ in cui $a_T=acos\theta$ è l'accelerazione tangenziale 3. **Relazione tra velocità, accelerazione e spostamento:** Dall'equazione del moto, sappiamo che l'accelerazione tangenziale può essere espressa in termini di velocità e spazio, utilizzando la regola della catena]], come: $a_T = \frac{d[v(s(t)]}{dt}=\frac{ds(t)}{dt}\frac {dv}{ds}=v \frac {dv}{ds}$ 4. **Sostituzione nell'espressione del lavoro:** Sostituendo l'espressione per l'accelerazione nell'equazione del lavoro otteniamo: $dW = m(v\frac{dv}{ds})\,ds = mv\,dv $ 5. **Integrazione per ottenere il lavoro totale:** Integrando entrambi i lati dall'iniziale stato (velocità iniziale v_i) allo stato finale (velocità finale v_f), otteniamo: $ W =  \int_{v_i}^{v_f} mv\,dv = m\left[\frac{v^2}{2}\right]_{v_i}^{v_f} = m\left(\frac{v_f^2}{2} -  \frac{v_i^2}{2}\right) =  \frac{1}{2}mv_f^2 -  \frac{1}{2}mv_i^2 = K_f - K_i  =  \Delta K $ #### Conservazione dell'energia meccanica Se un sistema è soggetto a vincoli ideali, bilateri e fissi, e le forze attive sono conservative, l'[[Principio di conservazione dell'energia meccanica|energia meccanica]] $E$ si conserva. Poiché $\dot{T} = \Pi$ e $\Pi = \dot{U}$, si ottiene $\dot{T} = \dot{U}$, da cui: $ E = T - U = \text{costante} $ *Nota bene:* L'energia meccanica può conservarsi anche in presenza di forze non conservative, purché queste non compiano lavoro. Un esempio classico è la [[Forze di Coriolis|forza di Coriolis]] o le reazioni vincolari nel [[moto su traiettoria prestabilita]]. ### Esempi ed esercizi Immagina di spingere un carrello della spesa da fermo. La forza che applichi (forza attiva) compie un *lavoro* lungo il corridoio del supermercato. Questo lavoro non scompare, ma si "trasforma" nel movimento del carrello, ovvero nella sua *energia cinetica*. Se smetti di spingere e il carrello urta degli scatoloni, compirà a sua volta un lavoro su di essi, perdendo la sua energia cinetica fino a fermarsi. Il teorema delle forze vive è il "registro contabile" di questo scambio: Lavoro in entrata = Energia di movimento guadagnata. ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Dimostrare il teorema dell'energia cinetica per un sistema di punti materiali. - [ ] Sotto quali ipotesi la potenza delle reazioni vincolari è nulla? - [ ] Perché in un corpo rigido le forze interne non compiono lavoro? - [ ] Che cosa si intende per integrale dell'energia cinetica e quando coincide con la conservazione dell'energia meccanica? *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ##### Esempi ed esercizi **Risolvere i seguenti esempi ed esercizi:** - [ ] Esempi ed esercizi | Lezione 35 Turzi - [ ] Esempio di studio del moto con teorema dell'energia cinetica | Biscari *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]