Il **Teorema di Huygens-Steiner** (o **teorema degli assi paralleli**) permette di calcolare il [[Momento d'inerzia|momento d'inerzia]] di un corpo rispetto a un asse arbitrario conoscendo il valore rispetto a un asse parallelo passante per il [[Centro di massa|centro di massa del corpo]]. Il teorema stabilisce che il [[Momento d'inerzia]] $I_a$ di un corpo di massa $m$ rispetto a un asse $a$ è pari alla somma del momento d'inerzia $I_{a_G}$ rispetto all'asse parallelo passante per il baricentro $G$ e del prodotto della massa per il quadrato della distanza $d$ tra i due assi: $\color {green} I_a = I_{a_G} + m d^2 $ ==Una conseguenza fondamentale di questa relazione è che, tra tutti gli assi aventi una determinata direzione, quello passante per il baricentro è l'asse rispetto al quale il corpo presenta il momento d'inerzia minimo.== ![[Pasted image 20260506115233.png]] #### Dimostrazione Si consideri un [[Coordinate cartesiane|sistema di riferimento]] con origine nel baricentro $G$ ($x_G = y_G = z_G = 0$) e asse $z$ parallelo all'asse $a$. Siano $(x_a, y_a)$ le coordinate del punto di intersezione dell'asse $a$ con il piano $xy$. Applicando la definizione di momento d'inerzia tramite [[!Analisi|calcolo integrale]]: $ I_a = \int_{\mathscr{B}} \varrho \left[ (x - x_a)^2 + (y - y_a)^2 \right] d\tau $ Sviluppando il quadrato del binomio si ottiene: $ I_a = \int_{\mathscr{B}} \varrho (x^2 + y^2) d\tau - 2x_a \int_{\mathscr{B}} \varrho x d\tau - 2y_a \int_{\mathscr{B}} \varrho y d\tau + (x_a^2 + y_a^2) \int_{\mathscr{B}} \varrho d\tau $ Analizzando i singoli termini: - $\int_{\mathscr{B}} \varrho (x^2 + y^2) d\tau = I_{a_G}$ (momento d'inerzia baricentrico). - Gli integrali $\int \varrho x d\tau$ e $\int \varrho y d\tau$ sono nulli poiché l'origine coincide con il baricentro. - $(x_a^2 + y_a^2) = d^2$ (quadrato della distanza tra gli assi). - $\int \varrho d\tau = m$ (massa totale). Sostituendo, si ricava la formula finale: $I_a = I_{a_G} + m d^2$. ### Esempi di applicazione #### Rettangolo Omogeneo Per un rettangolo di lati $a, b$ e massa $m$, il momento d'inerzia rispetto a un lato (es. asse $x$) e quello baricentrico sono legati dalla distanza $d = b/2$: - **Rispetto al lato**: $I_x = \frac{m b^2}{3}$ - **Rispetto all'asse baricentrico**: $I_{x_G} = I_x - m(\frac{b}{2})^2 = \frac{m b^2}{12}$ ![[Pasted image 20260506115245.png]] #### Cilindro e disco Per un cilindro omogeneo di raggio $R$ rispetto al suo asse di simmetria, il calcolo in [[!Geometria|coordinate polari]] fornisce: - **Cilindro/Disco**: $I_a = \frac{m R^2}{2}$ - **Semicerchio**: Il momento d'inerzia rispetto al diametro è identico a quello del disco intero (pesato sulla massa), ma per l'asse baricentrico parallelo al diametro è necessario applicare Steiner considerando la distanza $d = \frac{4R}{3\pi}$. ![[Pasted image 20260506115255.png]] ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] A cosa serve il teorema di Huygens-Steiner? - [ ] Dimostrare il teorema *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ##### Esempi ed esercizi **Risolvere i seguenti esempi ed esercizi:** - [ ] Esempi di calcolo | Biscari - [ ] Rettangolo - [ ] Settore di corona circolare - [ ] Cilindro omogeneo - [ ] Esercizi lezione 39 | Turzi *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]