Il Teorema di König fornisce una scomposizione fondamentale dell'[[Energia cinetica|energia cinetica]] e del [[Momento di una forza e Momento angolare|momento angolare]] di un sistema meccanico, separando il contributo del moto traslatorio del [[Centro di massa|centro di massa]] dal contributo del moto relativo ad esso. ### Teorema di Koenig dell'energia cinetica Il teorema permette di decomporre l'energia cinetica di un sistema materiale in due contributi distinti: l'energia cinetica traslazionale del [[centro di massa]], e l'energia cinetica $T^{(G)}$ del sistema nel suo moto relativo rispetto al centro di massa. $\color {green} T = \frac{1}{2}mv_G^2 + T^{(G)}$ dove $m$ è la massa totale del sistema e $v_G$ è il modulo della velocità del centro di massa. Applicando il teorema a un **sistema di punti materiali** si ottiene: $ \color {green} T_S= \frac{1}{2}mv_G^2+\sum \frac 12m_iv_i'^2 $ ##### Dimostrazione per un sistema di punti materiali Consideriamo un sistema discreto di $N$ punti materiali, ciascuno di massa $m_i$ e velocità $\mathbf{v}_i$. L'energia cinetica totale è definita come: $ T = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_i v_i^2 $ Per il [[Teorema dei moti relativi]], possiamo esprimere la velocità di ogni punto come la somma della velocità del centro di massa $\mathbf{v}_G$ e della velocità relativa al centro di massa $\mathbf{v}_i'$: $ \mathbf{v}_i = \mathbf{v}_G + \mathbf{v}_i' $ Sostituendo questa espressione nella definizione di energia cinetica ed espandendo il quadrato del binomio tramite il [[Prodotto scalare|prodotto scalare]], otteniamo: $ T = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_i (\mathbf{v}_G + \mathbf{v}_i') \cdot (\mathbf{v}_G + \mathbf{v}_i') $ $ T = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_i v_G^2 + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_i (v_i')^2 + \sum_{i=1}^{N} m_i (\mathbf{v}_G \cdot \mathbf{v}_i') $ Analizziamo i tre termini: 1. Il primo termine diventa $\frac{1}{2} v_G^2 \sum m_i = \frac{1}{2} m v_G^2$, ovvero l'energia cinetica del centro di massa. 2. Il secondo termine è l'energia cinetica relativa al centro di massa, $T^{(G)}$. 3. Il terzo termine può essere riscritto portando $\mathbf{v}_G$ fuori dalla sommatoria: $\mathbf{v}_G \cdot \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{v}_i'$. La quantità $\sum m_i \mathbf{v}_i'$ rappresenta la [[Forza e quantità di moto|quantità di moto]] totale del sistema valutata nel sistema di riferimento del centro di massa. Per definizione di centro di massa, questa quantità è identicamente nulla. Il termine misto si annulla, dimostrando il teorema: $ T = \frac{1}{2} m v_G^2 + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_i (v_i')^2 $ ##### Applicazione al corpo rigido Nel caso di un corpo continuo, la sommatoria discreta viene sostituita da un [[Integrale alla Riemann|integrale]] di volume. Se il corpo è soggetto a un [[Atto di moto rigido|atto di moto rigido]], la velocità di un generico punto $P$ rispetto a un polo $Q$ è data dalla [[Caratterizzazione dei moti rigidi|legge di distribuzione delle velocità]]: $\mathbf{v}_P = \mathbf{v}_Q + \boldsymbol{\omega} \times (P - Q)$ Scegliendo come polo il centro di massa ($Q \equiv G$), l'energia cinetica relativa $T^{(G)}$ assume una forma compatta dipendente dal [[Tensore d'inerzia|tensore d'inerzia]] baricentrale $\mathbf{I}_G$: $ \color {green} T = \frac{1}{2} m v_G^2 + \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega} \cdot (\mathbf{I}_G \boldsymbol{\omega}) $ Se il corpo ruota attorno a un asse principale d'inerzia, il termine relativo si semplifica ulteriormente in $\frac{1}{2} I_G \omega^2$, dove $I_G$ è il momento d'inerzia rispetto a tale asse. Per cui possiamo scrivere $ \color {green} T= \frac{1}{2}mv_G^2+\frac 12 \mathbf {I_G}\omega^2 $ #### Energia cinetica di un sistema olonomo Per un sistema soggetto a vincoli olonomi, la posizione di ogni punto può essere parametrizzata tramite un set di $n$ [[Coordinate libere e gradi di libertà|coordinate libere]] $\mathbf{q} = (q_1, \dots, q_n)$ e il tempo $t$. La velocità di un punto $P_i$ si esprime come: $ \mathbf{v}_i = \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial P_i}{\partial q_k} \dot{q}_k + \frac{\partial P_i}{\partial t} $ Sostituendo questa espressione nella definizione di energia cinetica, si ottiene una forma quadratica nelle velocità generalizzate $\dot{q}$, composta da tre termini: $ T = T_2 + T_1 + T_0 = \frac{1}{2} \sum_{h,k=1}^{n} a_{hk}(\mathbf{q}, t) \dot{q}_h \dot{q}_k + \sum_{k=1}^{n} b_k(\mathbf{q}, t) \dot{q}_k + c(\mathbf{q}, t) $ I coefficienti dipendono dalla geometria delle masse e dai vincoli. È fondamentale notare che se i vincoli sono indipendenti dal tempo (vincoli fissi o *scleronomi*), le derivate parziali rispetto al tempo si annullano ($\frac{\partial P_i}{\partial t} = 0$). In questo caso, $T_1 = 0$ e $T_0 = 0$, e l'energia cinetica si riduce a una forma puramente quadratica omogenea nelle velocità generalizzate ($T = T_2$). ### Teorema di Koenig del momento angolare Come conseguenza del [[Teorema dei moti relativi]] si può dimostrare che il [[Momento di una forza e Momento angolare|momento angolare]] può essere scomposto nel contributo del moto del [[Centro di massa|centro di massa]] ($G$) e nel contributo del moto relativo ad esso: $\color {green} \mathbf{K}_Q = \mathbf{K}_G + \mathbf{K}'_G=\vec{QG} \times M\mathbf{v_G} + \mathbf{K}'_G $ In particolare, il momento angolare rispetto al centro di massa $\mathbf{K}_G$ coincide sempre con il momento angolare relativo $\mathbf{K}'$ misurato da un osservatore traslante con $G$. **Applicando a un SISTEMA DI PUNTI MATERIALI** $ \color {green} \color {green} \mathbf{K}_Q=\vec{QG} \times M\mathbf{v}_G +\sum(\vec r'_i\times m_i\vec v'_i) $ <div class="page-break" style="page-break-before: always;"></div> **Applicando il teorema di Koenig in un [[Cinematica del corpo rigido|atto di moto rigido]]** rispetto a un polo $Q$, si ricava $\color {green} \color {green} \mathbf{K}_Q=\vec{QG} \times M\mathbf{v}_G +\int_V (\vec r'_i\times \vec v'_i) dm = \vec{QG} \times M\mathbf{v}_G + \mathbf{I}_G \boldsymbol{\omega} $ dove $\mathbf{I}_G$ è il [[Momento d'inerzia|tensore d'inerzia]] riferito al baricentro e $\boldsymbol{\omega}$ è la velocità angolare del corpo. Se il polo coincide con il centro di massa ($Q \equiv G$), il primo termine è nullo e di conseguenza il momento angolare sarà semplicemente: $\color {green} \mathbf{K}_G = \mathbf{I}_G \boldsymbol{\omega} $ ### Esempi ed esercizi ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Enuncia e dimostra i teoremi di Koenig. Perché il termine misto $\mathbf{v}_G \cdot \sum m_i \mathbf{v}_{i,r}$ svanisce nella dimostrazione? - [ ] Qual è la condizione necessaria affinché il momento angolare rispetto a un polo $O$ coincida con il momento angolare relativo $\mathbf{K}_G$? - [ ] Come si calcola l'energia cinetica in atto di moto rigido? Come si modifica l'espressione per un sistema olonomo con vincoli dipendenti dal tempo? - [ ] Energia cinetica di un corpo rigido con asse fisso / punto fisso *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ##### Esempi ed esercizi **Risolvere i seguenti esempi ed esercizi:** - [ ] Un disco di massa $M$ e raggio $R$ rotola senza strisciare su un piano orizzontale con velocità $v$. Calcolare la sua energia cinetica totale usando il teorema di König. - [ ] Esempi ed esercizi | Lezione 44 Turzi - [ ] Esempi di calcolo | Biscari 10.4 *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]