Sotto le ipotesi di validità del [[Teorema di Fourier|principio di sovrapposizione]], accade che sotto determinate condizioni la sovrapposizione di due [[Onde]] dia origine a particolari fenomeni. #### Interferenza Consideriamo due onde che abbiano uguale pulsazione e numero d’onda ma diversa costante di fase: $ \begin {cases} f_1(x,t)=Asin(kx\pm \omega t+\varphi_1) \\ f_2(x,t)=Asin(kx\pm \omega t+\varphi_2) \end {cases} $ La somma delle due funzioni precedenti risulta essere: $ F(x,t) =f_1(x,t) + f_2(x,t) = 2Acos\varphi_dsin(kx\pm \omega t+\varphi_m) $ Dove abbiamo: - $\varphi_m=\frac {\varphi_1+\varphi_2}2$ - $\varphi_d=\frac {\varphi_1-\varphi_2}2$ - $A'=2Acos\varphi_d=2Acos \frac {\varphi_1-\varphi_2}2$ Nel caso in cui $A'=2A$ abbiamo **interferenza costruttiva** e le due onde si dicono **in fase** Nel caso in cui invece $A'=0$ abbiamo **interferenza distruttiva** e le due onde si dicono in **controfase** ![[Pasted image 20240613141710.png|400]] #### Battimenti Il fenomeno dei battimenti si verifica quando si sovrappongono due onde di frequenza solo leggermente differente. Fissato un particolare punto spaziale $\bar{x}$ le due onde si possono scrivere come: $ \begin{aligned} & f_1(\bar{x}, t)=A \sin \left(k \bar{x} \pm \omega_1 t+\varphi_1\right) \\ & f_2(\bar{x}, t)=A \sin \left(k \bar{x} \pm \omega_2 t+\varphi_2\right) \end{aligned} $ La somma delle due onde è: $ \begin{aligned} f(\bar{x}, t) & =f_1(\bar{x}, t)+f_2(\bar{x}, t)=A \sin \left(k \bar{x} \pm \omega_1 t+\varphi_1\right)+A \sin \left(k \bar{x} \pm \omega_2 t+\varphi_2\right)= \\ & =2 A \sin \frac{\left(k \bar{x} \pm \omega_1 t+\varphi_1\right)+\left(k \bar{x} \pm \omega_2 t+\varphi_2\right)}{2} \cos \frac{\left(k \bar{x} \pm \omega_1 t+\varphi_1\right)-\left(k \bar{x} \pm \omega_2 t+\varphi_2\right)}{2}= \\ & =2 A \cos \left(\omega_d t+\varphi_d\right) \sin \left(k \bar{x} \pm \omega_m t+\varphi_m\right) \end{aligned} $ *essendo:* $\omega_m =\left(\omega_1+\omega_2\right) / 2, \omega_d=\left(\omega_1-\omega_2\right) / 2, \varphi_m=\left(\varphi_1+\varphi_2\right) / 2 \text { e } \varphi_d=\left(\varphi_1-\varphi_2\right) / 2$ L'onda risultante ha pulsazione $\omega_m$ intermedia tra le pulsazioni delle due onde singole e ampiezza $ A^{\prime}(t)=2 A \cos \left(\omega_d t+\varphi_d\right) $ che oscilla nel tempo con pulsazione $\omega_d$, pari alla semidifferenza tra le due pulsazioni di partenza. ![[Pasted image 20240613142033.png|400]]