La [[Legge di D'Alambert]] è un equazione lineare ed omogenea e di conseguenza vale il **principio di sovrapposizione**; cioè se f1, f2... fn sono ciascuna soluzione dell’equazione d’[[Onde|onda]], allora lo è anche una qualsiasi combinazione lineare delle suddette. Questa caratteristica delle onde permette di analizzare una complicata forma d’onda come sovrapposizione di onde più semplici. $ \color {green} \frac {d^2f} {dx^2}=\frac 1{v^2}\frac {d^2f}{dt^2} $ *La condizione di validità del principio di sovrapposizione è che le perturbazioni siano “piccole”, dove il termine “piccolo” si riferisce alla variazione della grandezza oggetto di propagazione rispetto al suo valore in assenza di sollecitazione.* Se vale il principio di sovrapposizione, possiamo specificare meglio la forma della funzione f grazie al **teorema di Fourier**, che ci consente di descrivere qualunque onda mediante una sovrapposizione di onde sinusoidali. <span style="background:#affad1">Qualunque funzione periodica f(t) il cui periodo T sia divisibile in un numero finito di tratti in cui la funzione sia continua e monotona, si può esprimere come una serie di termini sinusoidali:</span> $ \color {green} f(t)=a_0+\sum (a_msinm\omega t+b_mcosm\omega t)=a_0+\sum c_msin(m\omega t+\phi_m) $ Dove ω = 2π/T è la **pulsazione fondamentale, o prima armonica** (m =1), mentre le pulsazioni mω con m = 2, 3, 4…vengono chiamate **armoniche superiori.** Lo studio dei coefficienti che compaiono nell'equazione costituisce l'**analisi di Fourier.** Nel caso la funzione sia non periodica, lo sviluppo si può rappresentare ugualmente facendo tendere il periodo all'infinito, le serie allora diventano integrali e danno origine alla **trasformata di Fourier.** #### Come si relazionano le onde? <div class="page-break" style="page-break-before: always;"></div> Mediante il teorema di Fourier si può scomporre qualunque funzione in serie di termini sinusoidali, ragione per cui conviene scrivere la funzione che descrive l’onda come una funzione sinusoidale, sapendo che all’occorrenza basterà sommare più termini di tale forma per ottenere una qualunque funzione. Scriviamo quindi l’equazione per un **onda sinusoidale** $\color {green} f(x,t)=Asin(kx\pm \omega t+\varphi )$ Dove A è chiamata **ampiezza**, l’argomento del seno è la **fase** e $\varphi$ è la **costante di fase.** Possiamo poi definire la **pulsazione** $\omega =2\pi /T$ e il **numero d’onda** $k=2\pi /\lambda, \quad con \; \lambda=lunghezza \;d'onda$ La velocità si può esprimere come il rapporto tra la lunghezza d’onda e il periodo, per cui si ha: $\color {green} v=\lambda /T=\omega /k$ La velocità così espressa viene chiamata **velocità di fase**. ![[Pasted image 20240613110001.png]]