*I fenomeni oscillatori sono di grande importanza e si osservano in una grande varietà di situazioni con una evoluzione temporale che è spesso riconducibile alle stesse equazioni matematiche. Fenomeni oscillatori sono per esempio le vibrazioni della membrana del timpano dell'orecchio umano, dovute alle onde sonore, così come gli spostamenti dell'acqua dovuti al moto ondoso.* #### Oscillatore meccanico ideale Un corpo soggetto unicamente ad una forza elastica compie un moto armonico, che si ripete indefinitamente con un’ampiezza che rimane costante nel tempo; si parla dunque di un **oscillatore armonico ideale.** ![[Pasted image 20240611154738.png|400]] Si muove sotto l’azione di un’unica [[Forza elastica]] conservativa $F(x)=-kx$ mantenendo costante la sua energia meccanica totale. Definendo la pulsazione $\omega =\sqrt {k/m}$ e la velocità $v(t)=A\omega cos(\omega t +\varphi)$ La sua **legge oraria** è quindi $\color {green} x(t)=Asen(\omega t +\varphi)$ **L’energia cinetica** è $E_k(t)=\frac 1 2 mv^2(t)= \frac 1 2 m A^2\omega^2 cos^2(\omega t +\varphi)$ Mentre l’**energia potenziale elastica** è $E_p(t)=\frac 1 2 kx^2(t) = \frac 1 2 kA^2sen^2(\omega t +\varphi)$ **L’energia meccanica totale** sarà quindi $ \color {green} E_M=E_k(t)+E_p(t)= \frac 1 2 m A^2\omega^2 cos^2(\omega t +\varphi) + \frac 1 2 kA^2sen^2(\omega t +\varphi)=\frac 1 2 kA^2 $ *Possiamo vedere che l'energia meccanica non dipende dal tempo, ed è uguale all’energia potenziale massima. Si ha nell’oscillatore armonico ideale una continua trasformazione di energia da potenziale a cinetica, mantenendo costante l’energia meccanica totale, che non viene dissipata.* ![[Pasted image 20240611145243.png|500]] #### Oscillatore smorzato Nelle situazioni fisiche reali, un oscillatore si muove in presenza di una [[Forza d'attrito|forza di attrito]], che determina lo [[Moto esponenzialmente smorzato|smorzamento]] dell’oscillazione con conseguente dissipazione di energia, si dice quindi che l’**oscillatore** è **armonico smorzato.** **L’equazione differenziale del moto** è: $ m\frac {d^2x(t)} {dt^2} =-kx(t)-b\frac {dx(t)}{dt} $ o equivalentemente $ \\ \frac {d^2x(t)} {dt^2}+2\beta \frac {dx(t)} {dt}+\omega_0^2x(t)=0 $ dove è stata definita $\omega_0=(k/m)^{1/2}$ come la **pulsazione propria** dell’oscillatore armonico ideale. La soluzione generale dell’equazione differenziale lineare di 2o grado appena descritta dipende dai valori delle costanti Beta e Omega. Abbiamo 3 possibilità: ##### 1 Smorzamento debole (sottocritico) $\beta <\omega_0$ La soluzione dell’equazione è data dalla funzione: $ \color {orange}x(t)=A_0e^{-\beta t}sen(\omega t +\varphi) $ con $\omega=\sqrt{w^2_0-\beta^2}$ e A0 e $\varphi$ sono costanti dipendenti dalle condizioni iniziali Il moto è dunque un moto oscillatorio di tipo armonico modulato da una funzione esponenziale decrescente che determina la diminuzione dell’ampiezza di oscillazione ad ogni periodo. La costante omega definisce lo **pseudo-periodo** $T=2\pi/\omega$ *La rapidità di smorzamento dell'oscillazione dipende dalla costante beta, che è proporzionale all'intensità della forza di attrito viscosa. L'energia meccanica non si conserva ma viene progressivamente dissipata dalla forza di attrito che riduce via via l'ampiezza dell'oscillazione* ##### 2 Smorzamento forte (Sovracritico) $\beta > \omega_0$ In questo caso non si ha oscillazione e la soluzione generale è data dalla funzione $ \color {orange}x(t)=e^{-\beta t}(Ae^{\omega_1t}+Be^{-\omega_1t}) $ ##### 3 Smorzamento critico $\beta =\omega$ Anche in questo caso non si ha oscillazione e il moto è descritto dalla funzione $ \color {orange}x(t)=e^{-\beta t}(At+B) $ ![[Pasted image 20240611155316.png|300]] <div class="page-break" style="page-break-before: always;"></div> #### Oscillatore forzato e risonanza Nel caso in cui aggiungiamo alla situazione ideale oltre che la forza d’attrito anche una forza periodica F(t) con andamento di tipo sinusoidale, otteniamo quello che viene chiamato **oscillatore armonico forzato**, la cui equazione del moto è data da: $ \frac {d^2x(t)}{dt^2}+2\beta \frac{dx(t)}{dt}+\omega_0^2x(t)=(F_0/m)sen\omega t $ Risolvendo tale equazione si ottiene l’equazione seguente, essa è una soluzione particolare dell’equazione differenziale generica del moto, chiamata **soluzione di regime**, ossia quella in cui si suppone di far tendere il tempo all’infinito. Si evince da ciò che il moto dell’oscillatore armonico forzato è un moto armonico del tipo: $ \color {orange} x(t)=A(\omega)sen(\omega t+\varphi (\omega)) $ Con $A(\omega )=\frac {F_o/m}{\sqrt {(\omega_0 ^2-\omega ^2)^2 +4 \beta^2 \omega^2}}$ e $tan \varphi (\omega)= - \frac {2\beta \omega}{\omega_0 ^2-\omega ^2}$ L’ampiezza dell’ oscillazione dipende dalla pulsazione forzante omega, e ha un massimo alla **pulsazione di risonanza** → $\omega_R =\sqrt {\omega_0^2-2\beta^2}$ con corrispondente **frequenza di risonanza → $\nu_R=\omega _R/2\pi$** Il fenomeno descritto è chiamato **risonanza** e l’andamento A(w) è detto **curva di risonanza dell’oscillatore.** Il massimo della curva di risonanza è: $ A_M=A(\omega_R)=\frac {F_o/m}{2\beta \sqrt {\omega_0 ^2- \beta^2}} $ La curva di risonanza è tanto più stretta quanto più è piccolo lo smorzamento beta, nel limite di un oscillatore ideale privo di attrito, con beta=0. ![[Pasted image 20240611155511.png|500]] ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Fisica classica#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Fisica classica#Risorse#Bibliografia]] --- > [!example] Playlist > ![[!Fisica classica#Risorse#Oscillatore meccanico]]