Durante una [[Trasformazione termodinamica]] il lavoro W, la variazione di energia interna Delta U, e il calore scambiato Q variano secondo le leggi stabilite dalla Termodinamica: $ \begin {cases} W = \int_{V_i}^{V_f}p_edV \\ \Delta U = Q-W = nc_V \Delta T \\ Q = C(T)\Delta T= \Delta U - W \\ \end {cases} $ *Queste equazioni sono valide per i gas ideali e possono variare se si considerano altre sostanze o condizioni non ideali.* Possiamo attraverso queste equazioni analizzare alcune trasformazioni ideali. #### Trasformazione Isoterma In una trasformazione isoterma, la temperatura rimane costante $\Delta T = 0$, quindi $\Delta U = 0$. - **Variazione di Energia Interna:** $\Delta U = 0$ - **Lavoro:** $W =nRT \int_{V_i}^{V_f} \frac {dV}V= nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)$ - **Calore Scambiato:** Q = W Poiché Delta U = 0 il lavoro compiuto è uguale al calore assorbito #### Trasformazione Isocora In una trasformazione isocora, il volume rimane costante, quindi il lavoro compiuto è nullo W=0 - **Variazione di Energia Interna:** $\Delta U = Q = n c_V (T_f - T_i)$ - **Calore Scambiato:** poiché W=0 --> $Q = n c_V (T_f - T_i)$ #### Trasformazione Isobara In una trasformazione isobara, la pressione rimane costante. - **Lavoro:** $W = p \int_{V_i}^{V_f} dV= p (V_f - V_i)$ - **Variazione di Energia Interna:** $\Delta U = n c_V (T_f - T_i)$ - **Calore Scambiato:** $Q=\Delta U+W$ #### Trasformazione Adiabatica In una trasformazione adiabatica non vi è scambio di calore con l'ambiente Q = 0 - **Variazione di Energia Interna:** $\Delta U = Q-W = -W$ - **Lavoro:** $W = \Delta U = n c_V (T_f - T_i)$ - Si può inoltre dimostrare la **relazione tra pressione e volume:** $pV^\gamma = \text{costante}$ dove $\gamma = c_p/c_V$ ##### Dimostrazione Per un processo adiabatico, possiamo scrivere: $dU = \delta W = -PdV$ Inoltre per un gas ideale, l'energia interna dipende solo dalla temperatura: $dU = nc_vdT$ Dove n è il numero di moli e c_v è il calore specifico a volume costante. Possiamo quindi eguagliare le due equazioni e scrivere $nc_vdT = -PdV$ Possiamo utilizzare la legge dei gas ideali $PV = nRT$ e sostituire P per ottenere $nc_vdT = -\frac {nRT} V dV$ Sfruttando ora la relazione di Mayer $c_p=c_V+R \rightarrow R= c_p-c_V$ e isolando le variabili T e V abbiamo $- \frac {nc_vdT} T = \frac {n(c_p-c_V)dV} V$ Introduciamo la costante gamma $γ= c_p/c_v$ e dividiamo entrambi i membri per nc_v $\frac {dT} T = \frac {(1-\gamma) dV} V$ Integriamo ora per separazione delle variabili tra T0 e T e V0 e V $ln \frac T {T_0} = (1-\gamma)ln \frac V{V_0}= ln (\frac V{V_0})^{(1-\gamma)}$ Il che equivale a dire $ TV^{(\gamma-1)}= costante $ Sostituendo poi T = pV/nR la relazione è così dimostrata