L'**incertezza** di misura rappresenta la dispersione dei valori che potrebbero essere ragionevolmente attribuiti a una quantità misurata. Essa è inevitabile e deriva da vari fattori, tra cui le limitazioni degli strumenti di misura, le condizioni ambientali e le variazioni nei metodi di misurazione. ==L'incertezza è solitamente espressa come un intervallo attorno al valore misurato. == *Ad esempio, una lunghezza misurata di 10,0 cm con un'incertezza di ±0,1 cm indica che il valore reale è compreso tra 9,9 cm e 10,1 cm.* La **tolleranza** rappresenta invece lo scostamento massimo ammissibile rispetto a un valore nominale definito in fase di progetto per garantire la funzionalità di un componente. In ingegneria, le tolleranze sono specificate per garantire che i componenti funzionino correttamente insieme. Ad esempio, un bullone potrebbe avere una tolleranza di ±0,05 mm per garantire che si adatti correttamente al dado corrispondente. #### Classificazione delle incertezze e proprietà strumentali Le deviazioni in un processo di misura si classificano in: - **Sistematiche**: derivano da errori che si ripetono in modo costante in ogni misurazione, come un errore di calibrazione dello strumento. Queste incertezze possono spesso essere corrette una volta identificate tramite il confronto con un campione noto - **Casuali**: sono variazioni imprevedibili che influenzano le misurazioni. Possono essere ridotte aumentando il numero di misurazioni e calcolando una media. Da queste derivano le proprietà fondamentali degli [[Concetto di misura|strumenti di misura]]: - **Accuratezza**: assenza di scostamenti sistematici. - **Ripetibilità**: assenza (o contenimento) di scostamenti casuali. - **Precisione**: caratteristica globale che indica il contenimento sia degli scostamenti sistematici che di quelli casuali. *La precisione viene quindi definita come una caratteristica globale: uno strumento si dice infatti preciso quando è caratterizzato da errori sistematici e casuali contenuti.* Le cause principali di queste deviazioni includono: 1. Presenza di [[Ingressi e disturbi negli strumenti di misura|ingressi interferenti e modificatori]] (es. variazioni termiche che alterano la rigidezza di un sensore) 2. Imperfetta realizzazione del metodo di misura 3. Errori intrinseci legati alla definizione stessa del modello del misurando ![[500px-Random_systemic_errors.svg.png]] *Figura 1: Incertezza di tipo sistematico e casuale (bersagli). [Random_systemic_errors](https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Random_systemic_errors.svg), Cosmocurio, [CC BY-SA 3.0](http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/), via Wikimedia Commons* ### Espressione e stima dell'incertezza di misura #### Modi di esprimere l'incertezza L'incertezza è strettamente legata al modello del misurando: misurare la larghezza di una stanza con incertezza di $10 \text{ cm}$ richiede un modello a parallelepipedo semplice; richiederla con incertezza di $1 \text{ mm}$ impone di considerare le irregolarità superficiali dei muri. L'incertezza si esprime in due forme: - **Incertezza assoluta** ($\Delta g$): semiampiezza dell'intervallo di confidenza, espressa nelle stesse unità di misura del misurando ($\Delta g = \pm i$). - **Incertezza relativa** ($\frac{\Delta g}{g}$): rapporto adimensionale tra l'incertezza assoluta e il valore misurato, spesso espresso in percentuale ($\frac{\Delta g}{g} \cdot 100$). L'incertezza può anche essere espressa implicitamente tramite il numero di cifre significative del valore della misura. #### Stima dell'incertezza nelle misure dirette La guida ISO prevede due approcci per la valutazione dell'incertezza: - **Valutazione di Tipo A (Statistica)**: Si basa su $n$ misurazioni ripetute $X_1, X_2, \dots, X_n$ (dopo aver corretto gli errori sistematici). Si calcola la media campionaria $\bar{X}$ e la deviazione standard campionaria $S$. L'incertezza standard sulla media è $u_A = \frac{S}{\sqrt{n}}$. L'incertezza espansa si ottiene moltiplicando $u_A$ per un fattore di copertura $m$ (es. $m=2$ per un livello di confidenza del $95\%$ in una distribuzione gaussiana). - **Valutazione di Tipo B (A priori)**: Si basa su informazioni pregresse, manuali, certificati di taratura o esperienza. Si assume generalmente una distribuzione di probabilità rettangolare (tutti i valori nell'intervallo sono equiprobabili). Se $a$ è la semiampiezza dell'intervallo, l'incertezza standard è $u_B = \frac{a}{\sqrt{3}}$. ![[Pasted image 20260504105731.png]] #### Misure indirette e propagazione delle incertezze Nelle misure indirette, il misurando $y$ è funzione di $n$ variabili misurate direttamente: $y = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$. L'incertezza si propaga dalle variabili indipendenti al risultato finale. È importante determinare l'**incertezza combinata del risultato.** Questo può essere fatto utilizzando la propagazione delle incertezze, che tiene conto di come le incertezze individuali influenzano il risultato finale. **Metodo della perturbazione sequenziale (Stima del caso peggiore):** Consiste nel calcolare i valori estremi della funzione perturbando le variabili di ingresso con le rispettive incertezze assolute. $ y_{\min} = f(x_{1\min}, x_{2\min}, \dots, x_{n\min}) \quad ; \quad y_{\max} = f(x_{1\max}, x_{2\max}, \dots, x_{n\max}) $ **Metodo dello sviluppo in serie di Taylor:** Linearizzando la funzione nell'intorno dei valori nominali e assumendo le incertezze $\Delta x_i$ come piccoli incrementi, l'incertezza assoluta massima (limite superiore) è data dalla somma dei valori assoluti dei differenziali parziali: $ \Delta y = \sum_{i=1}^{n} \left| \frac{\partial f}{\partial x_i} \right| \Delta x_i $ Se le variabili sono statisticamente indipendenti e le incertezze sono espresse come deviazioni standard ($\delta x_i$), si utilizza la somma in quadratura (Root Sum Square): $ S_y = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial f}{\partial x_i} \delta x_i \right)^2} $ Poiché $S_y < \Delta y$, il calcolo lineare fornisce una stima conservativa (per eccesso). **Regole pratiche derivate:** - per calcolare l'incertezza di una **somma o differenza** si sommano le incertezze assolute. Se è data una funzione $f$ somma di $a$ e $b$ : $ \begin{aligned} f(a, b) & =a+b \\ \delta f(a, b) & =\left|\frac{\partial f}{\partial a}\right| \delta a+\left|\frac{\partial f}{\partial b}\right| \delta b=\delta a+\delta b \end{aligned} $ - per calcolare l'incertezza di un **prodotto o quoziente** si sommano le incertezze relative. Se è data una funzione $f$ somma di $a$ e $b$ : $ \begin{aligned} f(a, b) & =a \cdot b \\ \delta f(a, b) & =\left|\frac{\partial f}{\partial a}\right| \delta a+\left|\frac{\partial f}{\partial b}\right| \delta b=b \delta a+a \delta b \\ \frac{\delta f(a, b)}{a b} & =\frac{\delta a}{a}+\frac{\delta b}{b} \end{aligned} $ ### Esempi ed esercizi Immagina di dover calcolare l'area di un tavolo rettangolare misurandone i lati con un metro a nastro. Il metro ha un'incertezza di $\pm 1 \text{ cm}$. Se misuri la base ($2 \text{ m}$) e l'altezza ($1 \text{ m}$), potresti pensare che l'area calcolata ($2 \text{ m}^2$) abbia anch'essa un errore di $1 \text{ cm}^2$. In realtà, l'incertezza si *propaga* moltiplicandosi. Il tavolo reale potrebbe essere $2,01 \text{ m} \times 1,01 \text{ m} = 2,0301 \text{ m}^2$. L'incertezza non è un semplice "margine", ma un recinto che si espande e si deforma ogni volta che le misure dirette passano attraverso una formula matematica. ##### Domande di teoria - [ ] Qual è la differenza fondamentale tra incertezza di misura e tolleranza di progetto? - [ ] Dimostrare matematicamente perché, nel calcolo dell'incertezza di un prodotto $y = a \cdot b$, si sommano le incertezze relative e non quelle assolute. *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ##### Esercizi - [ ] Esempio: misura del rendimento di una pompa | Rossi - [ ] Con una comune bilancia da cucina pesiamo 5 volte un pacchetto di pasta. Otteniamo i valori 523, 522, 526, 524 e 526 grammi. Qual è il peso del pacchetto di pasta? Pesa di più o di meno di un altro pacchetto che ci ha dato i valori 533, 520, 528, 530 e 528 grammi? - [ ] Se dobbiamo misurare la potenza meccanica $P=C \omega$ di 10 Kw su un albero in rotazione a $10 \mathrm{giri} / \mathrm{s}$ con un'incertezza minore del $3 \%$ impiegando un misuratore di coppia $C$ che ha un'incertezza del $2 \%$, qual è l'incertezza massima in $s$ che possiamo tollerare per la misura del periodo di rotazione dell'albero? - [ ] Se misuriamo i lati di una stanza con una fettuccia metrica che ha un'incertezza di mezzo centimetro ottenendo i valori $3,32,4,50,6,30 \mathrm{~m}$, qual è l'incertezza relativa sul suo volume? *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Misure meccaniche e termiche#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Misure meccaniche e termiche#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!example] Playlist > ![[!Misure meccaniche e termiche#Risorse#Tolleranza e incertezza]] --- > [!danger] Info > ![[!Misure meccaniche e termiche#Collegamenti]]