Gli angoli di Eulero sono un insieme di tre coordinate angolari utilizzate per descrivere l'orientamento di un [[Cinematica del corpo rigido|corpo rigido]] rispetto a un sistema di riferimento fisso. Essi rappresentano i tre [[Coordinate libere e gradi di libertà|gradi di libertà]] rotazionali necessari per definire univocamente la [[Cinematica del corpo rigido|matrice di rotazione]] nello spazio tridimensionale. #### Asse dei Nodi La costruzione degli angoli di Eulero si basa sull'individuazione di una direzione geometrica intermedia. Se la direzione dell'asse verticale fisso $\mathbf{i}_3$ e quella dell'asse solidale $\mathbf{e}_3$ non sono coincidenti ($\mathbf{i}_3 \wedge \mathbf{e}_3 \neq \mathbf{0}$), si definisce il versore dell'**asse dei nodi** $\mathbf{n}$ come: $ \mathbf{n} = \frac{\mathbf{i}_3 \wedge \mathbf{e}_3}{|\mathbf{i}_3 \wedge \mathbf{e}_3|} $ Questo [[Vettori|vettore]] rappresenta l'intersezione tra il piano fisso $(\mathbf{i}_1, \mathbf{i}_2)$ e il piano solidale $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2)$. ### Definizione degli Angoli La terna fissa $\{\mathbf{i}_1, \mathbf{i}_2, \mathbf{i}_3\}$ viene trasformata nella terna solidale $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\}$ attraverso tre rotazioni successive: - **Precessione ($\psi$)**: Rotazione attorno all'asse fisso $\mathbf{i}_3$. Misura l'angolo tra l'asse fisso $\mathbf{i}_1$ e l'asse dei nodi $\mathbf{n}$. - **Nutazione ($\theta$)**: Rotazione attorno all'asse dei nodi $\mathbf{n}$. Misura l'inclinazione dell'asse solidale $\mathbf{e}_3$ rispetto all'asse fisso $\mathbf{i}_3$. Per garantire la biunivocità della terna, si assume solitamente $0 < \theta < \pi$. - **Rotazione propria ($\phi$)**: Rotazione attorno all'asse solidale $\mathbf{e}_3$. Misura l'angolo tra l'asse dei nodi $\mathbf{n}$ e l'asse solidale $\mathbf{e}_1$. ![[Pasted image 20260429143739.png]] <a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Eulerangles-alternative.svg">Eulerangles.svg: Lionel Britsderivative work: Poobarb</a>, <a href="https://creativecommons.org/licenses/by/3.0">CC BY 3.0</a>, via Wikimedia Commons ### Rappresentazione Matriciale La prima operazione consiste nel ruotare i versori $\mathbf{i}_h$ di un angolo $\psi$ intorno all'asse $\mathbf{i}_3$, costruendo una terna $\tilde{\mathbf{e}}_h$ tale che $ \tilde{\mathbf{e}}_1=\cos \psi \mathbf{i}_1+\sin \psi \mathbf{i}_2, \quad \tilde{\mathbf{e}}_2=-\sin \psi \mathbf{i}_1+\cos \psi \mathbf{i}_2, \quad \tilde{\mathbf{e}}_3=\mathbf{i}_3 $ In forma matriciale: $R_\psi = \begin{pmatrix} \cos\psi & \sin\psi & 0 \\ -\sin\psi & \cos\psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ Similmente, si possono scrivere le seguenti matrici per l'angolo di nutazione e l'angolo di rotazione propria. $ R_\theta = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & \sin\theta \\ 0 & -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} $ $ R_\phi = \begin{pmatrix} \cos\phi & \sin\phi & 0 \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $ #### Matrice di Rotazione Totale La matrice di rotazione completa $\mathbf{R}$, che esprime i versori della terna solidale rispetto alla terna fissa, è data dal prodotto delle tre matrici elementari nell'ordine inverso rispetto all'applicazione: $\mathbf{R} = R_\phi \cdot R_\theta \cdot R_\psi$ Sviluppando il prodotto, si ottengono le componenti $R_{hk}$. Si ricava quindi: $ \begin{aligned} & \mathbf{e}_1=(\cos \psi \cos \phi-\sin \psi \cos \theta \sin \phi) \mathbf{i}_1+(\sin \psi \cos \phi+\cos \psi \cos \theta \sin \phi) \mathbf{i}_2 +\sin \theta \sin \phi \mathbf{i}_3 \\ & \mathbf{e}_2=(-\sin \phi \cos \psi-\cos \phi \sin \psi \cos \theta) \mathbf{i}_1-(\sin \phi \sin \psi-\cos \phi \cos \psi \cos \theta) \mathbf{i}_2 +\cos \phi \sin \theta \mathbf{i}_3 \\ & \mathbf{e}_3=\sin \theta \sin \psi \mathbf{i}_1-\sin \theta \cos \psi \mathbf{i}_2+\cos \theta \mathbf{i}_3 \end{aligned} $ le quali permettono di scrivere ciascuna componente $R_{h k}$ della matrice di rotazione $\mathbf{R}$ in funzione degli angoli $(\psi, \theta, \phi)$. Per mezzo della rotazione inversa, coincidente con la trasposta $\mathbf{R}^T$, possiamo anche scrivere le relazioni che esprimono i versori dalla terna fissa rispetto alla terna solidale: $ \begin{aligned} & \mathbf{i}_1=(\cos \psi \cos \phi-\sin \psi \cos \theta \sin \phi) \mathbf{e}_1-(\sin \phi \cos \psi+\cos \phi \sin \psi \cos \theta) \mathbf{e}_2 +\sin \theta \sin \psi \mathbf{e}_3 \\ & \mathbf{i}_2=(\sin \psi \cos \phi+\cos \psi \cos \theta \sin \phi) \mathbf{e}_1-(\sin \phi \sin \psi-\cos \phi \cos \psi \cos \theta) \mathbf{e}_2 -\sin \theta \cos \psi \mathbf{e}_3 \\ & \mathbf{i}_3=\sin \theta \sin \phi \mathbf{e}_1+\cos \phi \sin \theta \mathbf{e}_2+\cos \theta \mathbf{e}_3 . \end{aligned} $ #### Rotazioni intorno a un asse prefissato La definizione dell'asse dei nodi richiede che sia verificata la condizione $\mathbf{e}_3 \wedge$ $\mathbf{i}_3 \neq \mathbf{0}$. Nel caso, però, in cui la rotazione avvenga intorno a un asse prefissato di versore $\mathbf{k}$ è spesso conveniente utilizzare proprio quest' ultimo come versore comune alla terna fissa e alla terna ruotata, ponendo $\mathbf{e}_3=\mathbf{i}_3=\mathbf{k}$. Sotto queste ipotesi le relazioni si semplificano, poiché in esse possiamo porre $\theta=0$. Otteniamo così, con l'uso di qualche identità trigonometrica, $ \left\{\begin{array}{l} \mathbf{e}_1=\cos (\psi+\phi) \mathbf{i}_1+\sin (\psi+\phi) \mathbf{i}_2, \\ \mathbf{e}_2=-\sin (\psi+\phi) \mathbf{i}_1+\cos (\psi+\phi) \mathbf{i}_2, \\ \mathbf{e}_3=\mathbf{i}_3 . \end{array}\right. $ È evidente che in questo caso il solo angolo $\psi+\phi$ è sufficiente a descrivere la configurazione della terna solidale rispetto alla terna fissa ma, non essendo definito l'asse dei nodi, non abbiamo modo di distinguere in esso $\psi$ da $\phi$. La scelta più semplice consiste nell'identificare l'angolo complessivo con $\psi$ e chiamare quest'ultimo semplicemente **angolo di rotazione.** ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Cosa sono gli angoli di Eulero? Come mai questi angoli permettono di descrivere la matrice di rotazione con soli tre parametri? Quale è la condizione per cui l'angolo di nutazione ha senso? - [ ] Disegna gli angoli nello spazio tridimensionale ed esplicita come si ottengono - [ ] Costruisci le rotazioni nello spazio con le dita della mano destra - [ ] Ricavare le relazioni fondamentali e dimostra l'indipendenza della terna scelta *Consultare le risorse selezionate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!example] Playlist > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Angoli di Eulero]]