Gli **assi principali d'inerzia** sono le direzioni lungo le quali la [[Tensore d'inerzia|matrice d'inerzia]] risulta diagonale, annullando i [[Momenti di inerzia rispetto ad assi concorrenti|prodotti d'inerzia]]. I corrispondenti [[Autovalori e autovettori|autovalori]] rappresentano i **momenti principali d'inerzia**, ovvero i valori massimi e minimi dell'inerzia rotazionale del corpo rispetto al polo considerato. ### Diagonalizzazione del Tensore d'Inerzia Poiché la [[Tensore d'inerzia|matrice d'inerzia]] $\mathbf{I}_{O}$ è una [[Matrici|matrice]] reale simmetrica, per il [[Teorema spettrale]] essa è sempre [[!Algebra|diagonalizzabile]] mediante una trasformazione ortogonale. La terna di riferimento in cui la matrice assume forma diagonale è detta **terna principale d'inerzia** rispetto al polo $O$. Gli assi principali sono individuati dagli **autovettori** $\mathbf{e}_{i}$ della matrice $\mathbf{I}_{O}$, definiti dall'equazione: $ \mathbf{I}_{O} \mathbf{e}_{i} = I_{i} \mathbf{e}_{i} $ I corrispondenti **autovalori** $I_{i}$ coincidono con i [[Momento d'inerzia|momenti d'inerzia]] calcolati rispetto a tali assi. Infatti, proiettando il tensore lungo la direzione dell'autovettore si ottiene: $ I^{(i)} = \mathbf{e}_{i} \cdot \mathbf{I}_{O} \mathbf{e}_{i} = \mathbf{e}_{i} \cdot (I_{i} \mathbf{e}_{i}) = I_{i} $ Tali quantità si dicono **momenti principali d'inerzia** rispetto a $O$. ### Rappresentazione in Terna Principale Quando si adotta una terna di [[Coordinate cartesiane|coordinate cartesiane]] coincidente con gli assi principali, i prodotti d'inerzia (termini fuori diagonale) si annullano. La matrice d'inerzia assume la seguente forma semplificata: $ \mathbf{I}_{O} \equiv\left[\begin{array}{ccc} I_{x} & 0 & 0 \\ 0 & I_{y} & 0 \\ 0 & 0 & I_{z} \end{array}\right] $ In questa configurazione, il vettore [[Momento di una forza e Momento angolare|momento angolare]] risulta parallelo al vettore [[Velocità e accelerazione angolari|velocità angolare]] se quest'ultimo è diretto lungo uno degli assi principali. #### Proprietà - **Positività**: La matrice $\mathbf{I}_{O}$ è generalmente definita positiva. Ciò implica che tutti i momenti principali d'inerzia $I_{i}$ sono strettamente positivi. - **Assi Centrali**: Se il polo $O$ coincide con il [[Centro di massa|baricentro]] $G$ del sistema, gli assi e i momenti principali vengono definiti **centrali**. Gli assi principali centrali sono di fondamentale importanza nello studio della dinamica del [[Corpo rigido|corpo rigido]] libero, poiché semplificano le [[Equazioni di Eulero|equazioni di Eulero]]. - **Simmetrie**: Se un corpo possiede simmetrie geometriche e materiali, gli assi di simmetria sono necessariamente assi principali d'inerzia. ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Che cosa si intende per terna principale di inerzia? *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ##### Esempi ed esercizi **Risolvere i seguenti esempi ed esercizi:** - [ ] Esempi lezione 41 | Turzi *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]