L'atto di moto rigido rappresenta la distribuzione istantanea delle velocità di un corpo rigido in un prefissato istante temporale, descrivendo il campo vettoriale delle velocità rispetto a uno spazio di controllo euleriano. ### Prospettive cinematiche: Lagrangiana vs Euleriana Lo studio della cinematica dei sistemi estesi può essere affrontato attraverso due approcci distinti: - **Punto di vista lagrangiano (globale)**: si focalizza sull'evoluzione temporale di ogni singola particella del corpo. È l'approccio standard per la classificazione dei [[Moti rigidi|moti rigidi]]. - **Punto di vista euleriano (locale)**: si concentra su una regione di controllo fissa nello spazio. L'attenzione è rivolta alla velocità $\mathbf{v}(P)$ posseduta dal punto del sistema che, all'istante $t$, transita per la posizione spaziale $P$. ![[Lagrangian_vs_Eulerian.png]] In questa prospettiva, il tempo è considerato un parametro fissato e la velocità diventa una funzione della posizione. Questo [[campo vettoriale]] istantaneo delle velocità è ciò che definiamo **atto di moto**. *Dal punto di vista lagrangiano $\mathbf{v}_P(t)$ è la velocità della particella $P$ in funzione del tempo. Al contrario, dal punto di vista euleriano il tempo è fissato, e la velocità è una funzione del posto. Ciò giustifica la notazione $\mathbf{v}(P)$ oppure $\mathbf{v}(Q)$, dove adesso $P$ e $Q$ non sono le particelle $P$ e $Q$ ma i punti dello spazio di controllo. ### Classificazione degli atti di moto La distribuzione delle velocità permette di classificare l'atto di moto in diverse tipologie, riflettendo le proprietà cinematiche del [[Cinematica del corpo rigido|corpo rigido]]: - **Atto di moto traslatorio**: tutti i punti del sistema possiedono la medesima velocità, ovvero $\mathbf{v}(P) = \mathbf{v}(Q)$ per ogni coppia di punti $P, Q$. - **Atto di moto rotatorio**: esiste una retta $r$ (asse di rotazione istantanea) i cui punti hanno velocità nulla. La distribuzione segue la legge $\mathbf{v}(P) = \boldsymbol{\omega} \wedge (P - O)$, dove $\boldsymbol{\omega}$ è la velocità angolare istantanea. - **Atto di moto roto-traslatorio**: esiste una direzione nello spazio di controllo tale che ogni retta parallela a tale direzione è luogo di punti di velocità uguale. - Indicato con u il versore della direzione privilegiata si ha dunque: $\mathbf{v}(P)=\mathbf{v}(Q)$ per ogni $P, Q \in \mathscr{C}$ tali che $P Q \| \mathbf{u}$. - L'atto di moto è caratterizzato dalla combinazione di una traslazione e una rotazione: $\mathbf{v}(P) = \mathbf{v}(Q) + \boldsymbol{\omega} \wedge (P - Q)$. - **Atto di moto elicoidale**: un caso specifico di rototraslazione in cui esiste una retta i cui punti hanno velocità parallela alla retta stessa ($\mathbf{v} \parallel \boldsymbol{\omega}$). Per cui $\mathbf{v}(P)=\mathbf{v}(Q)=\lambda \mathbf{u}$ per ogni $P, Q \in r \cap e$. ### Proprietà Fondamentali e Invarianti L'atto di moto rigido è governato da relazioni geometriche rigorose derivanti dalla natura del sistema. In primo luogo il moto di un sistema è rigido se e solo se il suo atto di moto è a ogni istante roto-traslatorio, come definito dalla [[Caratterizzazione dei moti rigidi|legge di distribuzione delle velocità]] per un moto rigido: $ \begin{equation*} \mathbf{v}(P)=\mathbf{v}(Q)+\omega \wedge Q P \end{equation*} $ Detto u un versore parallelo a $\boldsymbol{\omega}$, questa equazione mostra chiaramente che ==il più generale atto di moto rigido è roto-traslatorio, e che la direzione speciale dello spazio è quella parallela alla velocità angolare.== ==Per questo motivo l'espressione è anche chiamata **atto di moto rigido.**== #### Invariante scalare cinematico Per un atto di moto rigido, la proiezione della velocità di un punto sulla velocità angolare $\boldsymbol{\omega}$ è costante per tutto il corpo. Tale quantità è definita **invariante scalare cinematico**: $\color {orange} I = \mathbf{v}(P) \cdot \boldsymbol{\omega} = \text{costante}$ Questa proprietà dimostra che, sebbene la velocità vari da punto a punto, la sua componente parallela a $\boldsymbol{\omega}$ rimane inalterata. ##### Dimostrazione Moltiplichiamo scalarmente per $\boldsymbol{\omega}$ la formula dell'atto di moto rigido: $ \mathbf{v}(P) \cdot \boldsymbol{\omega}=\mathbf{v}(Q) \cdot \boldsymbol{\omega}+\underbrace{\omega \wedge Q P \cdot \boldsymbol{\omega}}_{=0} $ Il prodotto misto contenuto nell'ultimo termine è nullo, poiché due vettori sono coincidenti, e quindi deduciamo che $\mathbf{v}(P) \cdot \boldsymbol{\omega}=\mathbf{v}(Q) \cdot \boldsymbol{\omega}$ e perciò I è un invariante, indipendente dal punto usato per calcolarlo. #### Velocità di Scorrimento Un'altra proprietà cruciale riguarda la proiezione della velocità lungo la congiungente di due punti $P$ e $Q$. Utilizzando le proprietà del [[Prodotto misto|prodotto misto]] e del [[Prodotto vettoriale|prodotto vettoriale]], si dimostra che: $\color {green}\mathbf{v}(P) \cdot (P - Q) = \mathbf{v}(Q) \cdot (P - Q)$ Inoltre, punti situati su una retta parallela al vettore $\boldsymbol{\omega}$ possiedono la medesima velocità. Questa componente comune è nota come **velocità di scorrimento** della retta. ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Quali sono tutte le tipologie di moti rigidi e le loro caratteristiche? - [ ] Quale è la differenza tra punto di vista euleriano e punto di vista lagrangiano? - [ ] Cosa è la velocità di scorrimento della retta *Consultare le risorse selezionate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ##### Esempi ed esercizi **Risolvere i seguenti esempi ed esercizi:** - [ ] Esercizio 13.5 da appunti del prof Turzi - [ ] Esercizio 13.6 da appunti del prof Turzi *Consultare le risorse selezionate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!example] Playlist > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Atto di moto rigido]]