In ogni [[Cinematica del corpo rigido|moto rigido]] piano, base e rulletta sono due curve, rispettivamente fissa e solidale al corpo, tali che il moto si realizza mediante il puro rotolamento della seconda sulla prima. Esse rappresentano la traiettoria del [[Teorema di Chasles|centro di istantanea rotazione]] nei due sistemi di riferimento. Il moto di un corpo rigido nel piano può essere interpretato, in ogni istante, come una rotazione attorno a un punto chiamato centro di istantanea rotazione (CIR), indicato con $C$. - **Base (o polare fissa)**: È il luogo geometrico delle posizioni assunte dal CIR nel piano fisso (dell'osservatore). - **Rulletta (o polare mobile)**: È il luogo geometrico delle posizioni assunte dal CIR nel piano solidale al corpo in moto. Durante il movimento, la rulletta rotola senza strisciare sulla base; il punto di contatto tra le due curve è esattamente il CIR dell'istante considerato. ### Determinazione analitica della base Si consideri un sistema con un solo grado di libertà, dove l'angolo di rotazione $\theta$ funge da coordinata libera. La posizione di un punto $A$ solidale al corpo è data da $A(\theta)$. Utilizzando la formula dell'[[Atto di moto rigido|atto di moto rigido]] riferita al CIR: $\mathbf{v}(A) = \dot{\theta} \mathbf{k} \wedge (A - C)$ Scomponendo lungo i versori $\{\mathbf{i}, \mathbf{j}\}$ della terna fissa, si ottengono le relazioni: $\dot{x}_A = \dot{\theta}(y_C - y_A), \quad \dot{y}_A = \dot{\theta}(x_A - x_C)$ Poiché le velocità possono essere espresse tramite le derivate rispetto a $\theta$ ($\dot{x}_A = \frac{dx_A}{d\theta} \dot{\theta}$), semplificando $\dot{\theta}$ si ricavano le equazioni parametriche della **base**: $\color {green} x_C = x_A - \frac{dy_A}{d\theta}, \quad y_C = y_A + \frac{dx_A}{d\theta}$ In **forma vettoriale**, la posizione del CIR nel piano fisso è: $\color {green} OC(\theta) = OA(\theta) - \frac{dy_A}{d\theta} \mathbf{i} + \frac{dx_A}{d\theta} \mathbf{j}$ ### Determinazione analitica della rulletta Per ottenere la **rulletta**, è necessario esprimere la posizione di $C$ rispetto a una terna solidale al corpo $\{\mathbf{i}', \mathbf{j}'\}$, con origine in un punto $A$ solidale al corpo e versori rotati di un angolo $\theta$ rispetto alla terna fissa $\{\mathbf{i}, \mathbf{j}\}$. ![[Pasted image 20260305173132.png]] *Figura 1: Schema per la determinazione analitica di base e rulletta.* La relazione tra i versori delle due basi è data dalle proiezioni basate su [[Seno e coseno|funzioni trigonometriche]]: $ \begin{cases} \mathbf{i} = \cos \theta \mathbf{i}' - \sin \theta \mathbf{j}' \\ \mathbf{j} = \sin \theta \mathbf{i}' + \cos \theta \mathbf{j}' \end{cases} $ La posizione del CIR nel sistema mobile è definita dal vettore $\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA}$. Utilizzando le equazioni della base precedentemente ricavate: $x_C - x_A = -\frac{dy_A}{d\theta}, \quad y_C - y_A = \frac{dx_A}{d\theta}$ Sostituendo queste espressioni nel vettore $\vec{AC} = (x_C - x_A)\mathbf{i} + (y_C - y_A)\mathbf{j}$ e applicando la trasformazione dei versori, otteniamo la forma vettoriale della rulletta in funzione della coordinata libera $\theta$: $\color {green} \vec{AC}(\theta) = \left( \frac{dx_A}{d\theta} \sin \theta - \frac{dy_A}{d\theta} \cos \theta \right) \mathbf{i}' + \left( \frac{dx_A}{d\theta} \cos \theta + \frac{dy_A}{d\theta} \sin \theta \right) \mathbf{j}' $ Le coordinate $(x'_C, y'_C)$ del CIR rispetto agli assi mobili sono quindi: $ \color {green} \begin{cases} x'_C = \frac{dx_A}{d\theta} \sin \theta - \frac{dy_A}{d\theta} \cos \theta \\ y'_C = \frac{dx_A}{d\theta} \cos \theta + \frac{dy_A}{d\theta} \sin \theta \end{cases} $ #### Esempio: Asta vincolata agli assi coordinati Si consideri un'asta $AB$ di lunghezza $l$ con gli estremi vincolati a scorrere sugli assi $x$ e $y$. ![[Pasted image 20260506115135.png]] Applicando il [[Teorema di Chasles|Teorema di Chasles]], il CIR $C$ si trova all'intersezione delle perpendicolari alle velocità degli estremi. Geometricamente, $C$ è il quarto vertice del rettangolo $OACB$. Poiché la diagonale $OC$ è uguale alla diagonale $AB = l$, la distanza di $C$ dall'origine è costante: $x_C^2 + y_C^2 = l^2$ La **base** è dunque una circonferenza di raggio $l$ centrata nell'origine $O$. Rispetto all'asta, il punto $C$ si mantiene a distanza costante $l/2$ dal punto medio dell'asta stessa. Pertanto, la **rulletta** è una circonferenza di raggio $l/2$ centrata nel punto medio dell'asta. ![[Pasted image 20260506115145.png]] ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Che cosa si intende per base e rulletta? - [ ] Ricava le equazioni vettoriali e parametriche delle due curve *Consultare le risorse selezionate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ##### Esempi ed esercizi **Risolvere i seguenti esempi ed esercizi:** - [ ] Esempio: asta con estremi vincolati a rimanere sugli assi x e y | 4.11 Biscari *Consultare le risorse selezionate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]