Le leggi qui presentate possono essere considerate le **formule fondamentali per l'analisi del moto** del corpo rigido. Queste vengono utilizzate per conoscere le velocità e accelerazioni di punti diversi nel corpo, a partire dalla conoscenza di uno dei parametri. #### Legge di distribuzione delle velocità Condizione necessaria e sufficiente affinché il moto di un sistema sia rigido è che la **distribuzione delle velocità** soddisfi in ogni istante $ \color {green} \mathbf{v}_P(t)=\mathbf{v}_Q(t)+\omega(t) \wedge Q P \quad \text { per ogni } \quad P, Q . $ dove il vettore $Q P$ congiunge le posizioni nello spazio dei punti materiali $Q$ e $P$ all'istante considerato. ==Questa uguaglianza caratterizza completamente ogni moto rigido: per ogni coppia di punti solidali P e Q possiamo calcolare la velocità di uno a partire dalla conoscenza della velocità dell'altro e della [[Velocità e accelerazione angolari|velocità angolare]].== #### Spostamento rigido elementare Lo [[Descrizione del moto|spostamento elementare]] di un punto in moto è dato da $d P=\mathbf{v}_P d t$, che può essere intesa come parte principale dello spostamento finito $\Delta P$, al tendere di $\Delta t$ a zero. Lo spostamento $d P=\mathbf{v}_P d t$ risulta essere legato allo spostamento $d Q=\mathbf{v}_Q d t$ attraverso la relazione $ d P=d Q+\omega d t \wedge Q P $ La quantità $\omega d t$ ha una certa importanza, e viene spesso denominata **vettore di rotazione infinitesima**, relativo all'istante e al moto rigido al quale si riferisce $\omega(t)$, e indicata con $\boldsymbol{\epsilon}$. Con questa notazione, quindi, lo spostamento rigido elementare diventa: $\color {green} d P=d Q+\boldsymbol{\epsilon} \wedge Q P \quad(\boldsymbol{\epsilon}=\boldsymbol{\omega} d t) $ #### Legge di distribuzione delle accelerazioni Derivando rispetto al tempo la **legge di distribuzione delle velocità** è possibile dimostrare la relazione $ \color {green} \mathbf{a}_P(t)=\mathbf{a}_Q(t)+\dot{\omega} \wedge Q P+\omega \wedge(\omega \wedge Q P) \quad \text { per ogni } \quad P, Q . $ che prende il nome di **legge di distribuzione delle accelerazioni.** ==Assegnata quindi l'accelerazione di un qualsiasi punto solidale $Q$, la velocità angolare $\omega$ e la sua derivata $\dot{\omega}$, possiamo conoscere l'accelerazione di ogni altro punto $P$ del sistema.== ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Cosa è il vettore di rotazione infinitesima, e come è legato allo spostamento rigido elementare? - [ ] Cosa è un [[Trasformazioni antisimmetriche e vettore assiale|vettore assiale]]? *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ##### Esempi ed esercizi **Risolvere i seguenti esempi ed esercizi:** - [ ] Dimostra la legge di distribuzione delle velocità - [ ] Dimostra la legge di distribuzione delle accelerazioni - [ ] Ricava la legge di distribuzione delle velocità dalla matrice di rotazione | Biscari 2.6 *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]