==Il moto di un sistema di punti è definito rigido se le distanze tra tutte le coppie di punti del sistema rimangono costanti nel tempo.== Per due punti generici (Pi, Pk) in movimento, si ha: $ \left|P_{i}-P_{k}\right|=\left|\mathbf{P}_{i}(t)-\mathbf{P}_{k}(t)\right|=d_{i k} \quad \text { con } \quad \frac{d}{d t}\left(d_{i k}\right)=0 $ ==Analogamente, un corpo è considerato **rigido** quando gli unici movimenti possibili sono quelli rigidi.== La **condizione necessaria e sufficiente** affinché un atto di moto sia rigido è che, per ogni coppia di punti A e B del CR, le velocità $\mathbf{v}_A$ e $\mathbf{v}_B$ soddisfino la condizione: $\color {green} \left(\mathbf{v}_A-\mathbf{v}_B\right) \cdot (B-A) = 0$ _cioè che i due punti abbiano ugual componente della velocità lungo la loro congiungente._ $\mathbf{v}_A \cdot(B-A)=\mathbf{v}_B \cdot(B-A)$ #### Sistema di riferimento solidale Un [[Corpo rigido]] $\mathscr{B}$ occupa una regione limitata dello spazio in ogni istante. Tuttavia, possiamo estendere il suo movimento a punti esterni, immaginando che ogni punto $P$, anche se esterno al corpo rigido, sia "trascinato" dal movimento di $\mathscr{B}$, mantenendo costante la distanza da ogni punto del corpo. È sufficiente che le distanze di $P$ da tre punti di $\mathscr{B}$ siano costanti per determinare il suo movimento. In questo modo, possiamo costruire uno spazio euclideo composto da **punti solidali** al corpo durante il suo movimento. *Questo **spazio solidale** si muove insieme al corpo rigido, condividendone le caratteristiche del moto.* Un [[Sistema di riferimento]] **solidale** è un sistema che viene trascinato dal movimento dello spazio solidale. *Rispetto a tale sistema, i punti del corpo rigido mantengono invariata la loro posizione e le loro coordinate.* Una [[Terna intrinseca|terna cartesiana ortogonale]] **si dice solidale al CR** se i punti del CR hanno coordinate costanti nel tempo rispetto a questa terna. Un [[Vettori|vettore]] $\mathbf{u}$ è **solidale** al CR se le sue componenti rispetto a tale terna sono costanti: $ \color {orange} \mathbf{u}(t) = u_x \mathbf{e}_x(t) + u_y \mathbf{e}_y(t) + u_z \mathbf{e}_z(t), \quad u_x, u_y, u_z = \text{costanti}. $ Esempi di vettori solidali sono i versori $\mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y, \mathbf{e}_z$ e ogni vettore $(B-A)$ se $A$ e $B$ sono due punti del CR. ==Un vettore solidale ad un CR ha modulo costante.== ![[Pasted image 20250526100422.png]] ### Descrizione matematica della configurazione Sia $Q(t)$ la posizione a un istante generico $t$ di un punto solidale con un sistema rigido $\mathscr{B}$ in movimento nello spazio. La posizione di un corpo rigido nello spazio è univocamente determinata dalla posizione di un suo punto $Q$ (origine della terna solidale) e dall'orientamento della terna ortonormale solidale rispetto a un riferimento fisso $\{\mathbf{i}_1, \mathbf{i}_2, \mathbf{i}_3\}$. #### Matrice di Rotazione L'orientamento è descritto da una [[Matrici|matrice]] di rotazione $\mathbf{R}(t)$, le cui componenti $R_{hk}$ rappresentano i coseni direttori tra i versori mobili e quelli fissi: $\mathbf{e}_k(t) = \sum_{h=1}^3 R_{hk}(t) \mathbf{i}_h, \quad R_{hk} = \mathbf{i}_h \cdot \mathbf{e}_k$ Affinché la terna rimanga ortonormale e destrorsa, la matrice deve essere una [[Gruppo ortogonale|rotazione]], soddisfacendo le condizioni: - $\mathbf{R}^T \mathbf{R} = \mathbf{I}$ (Ortogonalità) - $\det(\mathbf{R}) = 1$ (Rotazione propria) La condizione di moto rigido esprime quindi 6 relazioni dipendenti fra le componenti di $\mathbf{R}$ e suggeriscono quindi che i 9 coseni direttori $R_{h k}$ siano esprimibili come funzione di $9-6=3$ parametri arbitrari. Esistono diverse possibilità per identificare 3 parametri indipendenti per la matrice di rotazione, tra cui i principali sono: - **[[Angoli di Eulero]]** - [[Angoli di Cardano]] #### Equazione Cartesiana del Moto La posizione di un generico punto $P$ solidale al corpo è data dalla combinazione della traslazione del punto $Q$ e della rotazione del vettore $QP$: $\color {green} O P(t) = O Q(t) + \mathbf{R}(t) \mathbf{y}$ In termini di [[Coordinate cartesiane]], l'equazione del moto rigido è: $x_k(P) = x_k(Q) + \sum_{h=1}^3 R_{kh} y_h, \quad (k=1,2,3)$ ![[Pasted image 20250526095326.png]] Si conclude che per conoscere il moto di un corpo rigido bisogna assegnare in ogni istante le 3 coordinate di un suo punto $Q$ e 3 parametri indipendenti che forniscono la matrice di rotazione $\mathbf{R}$. Questa formulazione dimostra che il moto di un corpo rigido ha bisogno di **6 parametri** indipendenti per descrivere univocamente ogni configurazione possibile: - 3 per la posizione del punto $Q$ - 3 per l'orientamento della terna solidale ==Per questo motivo si dice che un corpo rigido ha 6 [[Coordinate libere e gradi di libertà|gradi di libertà]].== ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Quanti parametri sono necessari per definire il moto del corpo rigido? - [ ] Come mai la matrice di rotazione può essere espressa con soli 3 parametri? - [ ] Cosa significa spazio solidale - [ ] Cosa è la terna solidale *Consultare le risorse selezionate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ##### Esempi ed esercizi **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Dimostrazione dei gradi di libertà e dell'equazione cartesiana | Biscari - [ ] Esercizio 13.5 | Appunti del prof Turzi - [ ] Esercizio 13.6 | Appunti del prof Turzi *Consultare le risorse selezionate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]