**Siano** $s(t)$ la **[[Legge oraria del moto|legge oraria]]** che descrive in moto di un punto, e $\{\mathbf{t}, \mathbf{n}, \mathbf{b}\}$ la **[[Terna intrinseca]]** associata alla sua [[Traiettoria]].
**Allora**
$ \color {green}
\begin{equation*}
\mathbf{v}=\dot{s} \mathbf{t} \quad e \quad \mathbf{a}=\ddot{s} \mathbf{t}+c \dot{s}^{2} \mathbf{n}
\end{equation*}
$
*dove $c=1 / \rho$ è la [[Curvatura e raggio di curvatura|curvatura]] della traiettoria.*
Le relazioni sono particolarmente significative.
- La prima esprime il fatto che ==la velocità è in ogni istante tangente alla traiettoria==, e la sua componente secondo t è pari a $\dot{s}=|\mathbf{v}(t)|$.
- La seconda mostra invece che l'==accelerazione possiede una componente tangente== $\ddot{s}$ e una ==componente lungo la normale principale== pari a== $\dot{s}^{2} / \rho$
*Solo nelle posizioni in cui la traiettoria abbia curvatura nulla oppure negli istanti in cui sia $\dot{s}=0$ l'accelerazione si riduce a essere tangente alla traiettoria.*
![[Pasted image 20250514110508.png|500]]
##### Dimostrazione
Per dimostrare la prima equazione utilizziamo il [[Regole di derivazione|teorema di derivazione della funzione composta]], applicato alla [[Descrizione del moto|funzione del moto]] $\hat{P}(s(t))$:
$
\mathbf{v}=\frac{d P}{d t}=\frac{d \hat{P}}{d s} \frac{d s}{d t}=\dot{s} \mathbf{t}
$
La situazione è più complicata per quanto riguarda l'accelerazione, come vediamo subito. Utilizzando la definizione di [[Terna intrinseca|versore normale]]
$
\begin{equation*}
\frac{d \mathbf{t}}{d s}=c \mathbf{n}
\end{equation*}
$
e derivando la velocità espressa dalla relazione precedente, possiamo dimostrare che l'accelerazione ha in generale non solo una componente tangente alla traiettoria ma anche una componente diretta come la normale principale.
$
\mathbf{a}=\frac{d \mathbf{v}}{d t}=\frac{d(\dot{s} \mathbf{t})}{d t}=\ddot{s} \mathbf{t}+\dot{s} \frac{d \mathbf{t}}{d t}=\ddot{s} \mathbf{t}+\dot{s} \frac{d \mathbf{t}}{d s} \frac{d s}{d t}=\ddot{s} \mathbf{t}+c \dot{s}^{2} \mathbf{n}=\ddot{s} \mathbf{t}+\frac{\dot{s}^{2}}{\rho} \mathbf{n}
$
##### Domande di teoria
**Rispondere alle seguenti domande specifiche:**
- [ ] Qual è la relazione tra velocità e traiettoria?
- [ ] Quali sono le componenti dell'accelerazione nella terna intrinseca?
- [ ] Dimostrare le relazioni
*Consultare le risorse selezionate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.*
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