Si dicono **coordinate libere** di un sistema i parametri essenziali ed indipendenti necessari per definire la configurazione di un [[Sistemi vincolati|sistema vincolato]]. Il numero **n** di tali parametri definisce i **gradi di libertà** (G.D.L.) del sistema stesso. *Ogni grado di libertà rappresenta quindi un modo in cui il corpo rigido può muoversi o ruotare senza violare le condizioni imposte dalla sua rigidità.* ### Caratterizzazione delle Coordinate Libere Per definire univocamente la posizione di un sistema nello [[Spazio delle configurazioni|spazio]], si utilizzano parametri indicati solitamente come $q_1, q_2, \dots, q_n$. Questi devono soddisfare due requisiti fondamentali: - **Essenzialità**: non è possibile eliminare alcun parametro senza perdere la capacità di determinare la configurazione del sistema. *Se venisse rimosso un parametro essenziale, la posizione di almeno un punto del sistema risulterebbe indeterminata.* - **Indipendenza**: ogni parametro può variare entro un certo intervallo indipendentemente dagli altri. Ciò implica l'assenza di ulteriori legami finiti (equazioni) tra le coordinate scelte che ne limita la variabilità. La posizione di un generico punto $P$ del sistema può essere espressa come una [[!Analisi#2) Funzioni|funzione]] delle coordinate libere ($q_i=q_i(t)$) e, eventualmente, del tempo $t$ (in caso di [[Sistemi vincolati|vincoli mobili]]): $P = P(q_1, q_2, \dots, q_n, t)$ Derivando rispetto al tempo e utilizzando la [[Regola della catena]], si ottiene la velocità del punto $P$: $\mathbf{v}_P = \frac{dP}{dt} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial P}{\partial q_k} \dot{q}_k + \frac{\partial P}{\partial t}$ ### Gradi di Libertà (G.D.L.) ==Il numero **n** di coordinate libere rappresenta i gradi di libertà del sistema.== Nel contesto di [[Sistemi vincolati|vincoli olonomi]] e bilateri, il numero di G.D.L. coincide esattamente con il numero di parametri indipendenti necessari per la descrizione statica. Tuttavia, la distinzione diventa cruciale in presenza di **vincoli anolonomi** (o di pura mobilità). In questi casi, sebbene la posizione sia descritta da $n$ coordinate, il numero di [[Spostamenti e velocità virtuali|spostamenti virtuali]] indipendenti può essere inferiore. ==Pertanto, i gradi di libertà sono definiti più rigorosamente come il numero di atti di moto virtuali indipendenti ammissibili in una generica configurazione.== | Sistema | Vincoli | Gradi di Libertà (n) | | :--- | :--- | :--- | | Punto materiale libero | Nessuno | 3 | | Punto su una superficie | 1 vincolo olonomo | 2 | | Punto su una curva | 2 vincoli olonomi | 1 | | Corpo rigido nel piano | Rigidità interna | 3 | #### Esempio Consideriamo due punti materiali $A$ e $B$ vincolati a mantenere una distanza fissa $l$. ![[Pasted image 20260305162555.png]] Inizialmente, i due punti avrebbero 4 [[Coordinate cartesiane|coordinate cartesiane]] $(x_A, y_A, x_B, y_B)$. Il vincolo di rigidità impone: $\sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2} = l$ Questa equazione riduce i parametri indipendenti da 4 a 3. Una scelta comune di coordinate libere per questo sistema è $(x_A, y_A, \theta)$, dove $\theta$ è l'angolo formato dal segmento $AB$ con l'asse delle ascisse. Utilizzando le [[Coordinate polari|coordinate polari]] relative, la posizione di $B$ è determinata univocamente: - $x_B = x_A + l \cos \theta$ - $y_B = y_A + l \sin \theta$ ### Metodo pratico di calcolo G.D.L Per determinare i G.D.L. di un sistema, si può procedere con il "**metodo del bloccaggio**": 1. Si individua un insieme di coordinate che descrivono il sistema. 2. Si "blocca" idealmente una coordinata alla volta (impedendone il movimento). 3. Si ripete il processo finché il sistema non risulta completamente immobile. 4. Il numero totale di coordinate che è stato necessario bloccare corrisponde ai gradi di libertà. #### Il Criterio di Grübler Per sistemi complessi come i [[Catene cinematiche e meccanismi|meccanismi articolati]] si può utilizzare il **Criterio di Grübler** per calcolare i gradi di libertà. Questa formula permette di determinare i DoF (Degrees of Freedom) basandosi sul numero di corpi rigidi e sulla tipologia di giunti (vincoli) che li connettono. La formula generale è: $\color {green} DoF = m(n - 1 - j) + \sum_{i=1}^{j} f_i$ dove: - $m$: rappresenta i gradi di libertà dello spazio in cui il sistema opera ($m=3$ per il piano, $m=6$ per lo spazio tridimensionale). - $n$: è il numero totale di link (corpi rigidi), includendo il telaio fisso (ground) come un unico link. - $j$: è il numero totale di giunti. - $f_i$: sono i gradi di libertà permessi dal giunto $i$-esimo (ad esempio, una cerniera ha $f=1$, un giunto sferico ha $f=3$). ##### Procedimento di calcolo Per applicare correttamente il criterio, si segue solitamente questa procedura: 1. **Identificazione dei Link**: si contano tutti i corpi rigidi del sistema, assegnando il numero 1 al telaio fisso. 2. **Identificazione dei Giunti**: si individuano i punti di connessione tra i link e se ne determina la tipologia. 3. **Valutazione delle Libertà dei Giunti**: si assegna a ogni giunto il valore $f_i$ corrispondente ai movimenti che permette (rotazioni o traslazioni). 4. **Applicazione della Formula**: si inseriscono i valori nella formula di Grübler per ottenere il numero di coordinate libere $n$. | Tipo di Giunto | DoF ($f_i$) nel Piano | DoF ($f_i$) nello Spazio | | :------------------- | :-------------------- | :----------------------- | | Cerniera (Revolute) | 1 | 1 | | Prismatico (Sliding) | 1 | 1 | | Cilindrico | - | 2 | | Sferico | - | 3 | ##### Esempio: Doppio pendolo nel piano Un doppio pendolo è composto da due aste e un telaio fisso. - $n = 3$ (telaio + asta 1 + asta 2) - $j = 2$ (due cerniere) - $f_1 = 1, f_2 = 1$ - $m = 3$ (moto piano) Applicando la formula: $DoF = 3(3 - 1 - 2) + (1 + 1) = 3(0) + 2 = 2$ Il sistema ha 2 gradi di libertà, descrivibili tramite due angoli $\theta_1$ e $\theta_2$. ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Come si calcolano i gradi di libertà di un sistema? Fai qualche esempio con dei classici sistemi vincolati *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ##### Esempi ed esercizi **Risolvere i seguenti esempi ed esercizi:** - [ ] Esercizi Lezione 19 | Turzi *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!example] Playlist > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Coordinate libere]]