### Analisi statica #### Poligono di appoggio ed equilibrio Lo studio dell'equilibrio di un corpo rigido pesante appoggiato su un piano orizzontale liscio si basa sul concetto di **poligono di appoggio**. Se il corpo tocca il piano in un numero finito di punti $\{P_{i}, i=1, \ldots, n\}$, il poligono di appoggio è definito come il minimo poligono convesso i cui vertici coincidono con un sottoinsieme dei punti di appoggio e che contiene al suo interno (o sul perimetro) tutti gli altri punti di contatto. Si chiama quindi **poligono di appoggio** il poligono individuato in maniera univoca dalle tre seguenti proprietà: 1. I vertici del poligono sono punti di appoggio. 2. Il poligono è convesso. 3. I punti di appoggio che non sono vertici non sono esterni al poligono. ![[Pasted image 20260507163337.png]] La condizione necessaria e sufficiente per l'equilibrio stabilisce che il **centro di pressione** $G^*$ (ovvero la proiezione ortogonale del [[Centro di massa|baricentro]] del corpo sul piano di appoggio) non deve essere esterno al poligono di appoggio. Questa proprietà deriva dai teoremi di riducibilità: il peso è applicato in $G^*$, mentre le [[Reazioni vincolari|reazioni vincolari]] (essendo vettori paralleli e concordi, diretti verso l'alto) ammettono un centro il cui posizionamento è strettamente confinato all'interno o sul bordo del poligono convesso. Affinché il momento risultante sia nullo, il centro delle reazioni deve coincidere con $G^*$. #### Calcolo delle reazioni vincolari (Vincoli lisci) Essendo il piano liscio, le reazioni vincolari $\boldsymbol{\Phi}_{j} = \Phi_{j} \mathbf{k}$ sono puramente verticali. Fissato un sistema di riferimento $Oxy$ sul piano, le [[Equazioni cardinali della statica|equazioni cardinali della statica]] forniscono un sistema lineare di tre equazioni nelle $n$ incognite $\Phi_{j}$: $ \sum_{j=1}^{n} \Phi_{j} = p, \quad \sum_{j=1}^{n} x_{j} \Phi_{j} = x_{G} p, \quad \sum_{j=1}^{n} y_{j} \Phi_{j} = y_{G} p $ dove $p$ è il peso del corpo. La risolubilità del sistema dipende dal numero di appoggi: - **Treppiede ($n=3$)**: Il sistema è staticamente determinato. Le reazioni si ricavano con la regola di Cramer e risultano proporzionali alle aree dei sottotriangoli formati dal centro di pressione e dai vertici dell'appoggio. - **Cedevolezza del suolo ($n>3$)**: Il problema è staticamente indeterminato. Per risolverlo, si affina il modello introducendo l'elasticità del piano d'appoggio. Assumendo piccole deformazioni, si applica la legge di Hooke ($\Phi_{j} = -k z_{j}$). Poiché il corpo è rigido, i punti di contatto giacciono su un piano inclinato ($z_{j} = a x_{j} + b y_{j} + c$). Questo riduce le incognite a tre parametri cinematici ($\lambda, \mu, \nu$), rendendo il sistema risolubile. Se il sistema di riferimento viene scelto coincidente con gli [[Assi e momenti principali d'inerzia|assi principali d'inerzia]] della distribuzione discreta dei punti di appoggio, la soluzione si disaccoppia. Poiché il [[Vincoli|vincolo]] è unilatero, se l'analisi restituisce una reazione $\Phi_{j} < 0$, significa che quel punto si distacca dal suolo; il punto va rimosso dal calcolo e il sistema iterato. ![[Pasted image 20260507163346.png]] #### Vincoli scabri e attrito In presenza di vincoli scabri, il [[Principio dei lavori virtuali|principio dei lavori virtuali]] fornisce solo una condizione sufficiente ma non necessaria per l'equilibrio. L'attrito amplia le configurazioni di equilibrio possibili. ##### Equilibrio di una scala Un esempio classico è l'**equilibrio di una scala** appoggiata a una parete verticale liscia e a un pavimento orizzontale scabro. Affinché vi sia equilibrio, la retta d'azione della reazione totale del pavimento deve intersecare il punto di incontro tra la retta d'azione del peso e quella della reazione della parete, e tale reazione deve cadere all'interno del [[Cono d'attrito|cono d'attrito]] del pavimento, rispettando la [[Legge di Coulomb-Morin|legge di Coulomb-Morin]]. ![[Pasted image 20260507163313.png]] ### Analisi dinamica La presenza di vincoli unilaterali complica notevolmente la dinamica, poiché il numero di [[Coordinate libere e gradi di libertà|gradi di libertà]] del sistema può variare durante il moto. Un corpo rigido libero ha 6 gradi di libertà, ma il contatto con una superficie li riduce: 5 con un punto di contatto, 4 con due punti, 3 con tre o più punti. Tuttavia, poiché il corpo può sempre staccarsi, i gradi di libertà potenziali rimangono 6. La strategia risolutiva standard consiste nel: 1. Ipotizzare che il contatto si mantenga (moto di confine). 2. Risolvere le equazioni del moto sotto questa ipotesi. 3. Calcolare le reazioni vincolari e verificarne il segno (es. la componente normale deve essere repulsiva). 4. Se in un istante $\bar{t}$ una reazione cambia segno, il vincolo cessa di essere attivo. Si introducono nuovi gradi di libertà e si integra il moto per $t > \bar{t}$ usando lo stato cinematico in $\bar{t}$ come nuova condizione iniziale. #### Esempio: Caduta di una scala Consideriamo una scala (asta omogenea di massa $m$ e lunghezza $l$) appoggiata su una parete verticale e un pavimento orizzontale, entrambi lisci. Inizialmente, l'asta scivola mantenendo il contatto con entrambi gli assi (1 grado di libertà, descritto dall'angolo $\theta$ con l'orizzontale). ![[Pasted image 20260507163410.png]] Utilizzando l'[[Principio di conservazione dell'energia meccanica|integrale dell'energia]] ($T - U = E$), si ricavano la velocità e l'accelerazione angolare: $ \dot{\theta}^{2} = 3 \frac{g}{l}(\sin \theta_{0} - \sin \theta) \quad \implies \quad \ddot{\theta} = -\frac{3}{2} \frac{g}{l} \cos \theta $ Proiettando le [[Equazioni cardinali della meccanica|equazioni cardinali della dinamica]] lungo l'orizzontale, si determina la reazione della parete $H_A$: $ H_{A} = \frac{3}{4} mg (3 \sin \theta - 2 \sin \theta_{0}) \cos \theta $ Il distacco dalla parete avviene quando $H_A$ si annulla, ovvero all'angolo $\theta_{\mathrm{d}}$ tale che: $ \sin \theta_{\mathrm{d}} = \frac{2}{3} \sin \theta_{0} $ Dopo il distacco, il sistema acquisisce un secondo grado di libertà (l'ascissa $x$ dell'estremo $B$). Il moto susseguente è governato dalla conservazione dell'energia e dalla conservazione della componente orizzontale della [[Forza e quantità di moto|quantità di moto]] (poiché non vi sono più forze esterne orizzontali attive). Questo permette di determinare l'atto di moto finale della scala nell'istante in cui impatta completamente al suolo ($\theta = 0$). ### Esempi ed esercizi ##### Esercizi - [ ] Esempio: Poligono d'appoggio | Biscari - [ ] Esempio: Equilibrio di una scala | Biscari - [ ] Esempi fondamentali statici e dinamici | Biscari ### Collegamenti --- *Per risposte, ulteriori esercizi e approfondimenti consultare le risorse di riferimento.* > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]