Un corpo rigido vincolato a un asse fisso è tipicamente schematizzato tramite una **cerniera cilindrica**. Questo [[Vincoli|vincolo]] impedisce le traslazioni e le rotazioni trasversali, consentendo unicamente la rotazione attorno all'asse del cilindro. ### Analisi statica #### Reazioni vincolari Per analizzare le [[Reazioni vincolari|reazioni vincolari]], è utile modellare la cerniera cilindrica come un sistema equivalente composto da due cerniere sferiche fisse, poste in due punti $\Omega_{1}$ e $\Omega_{2}$ sull'asse di rotazione, separati da un vettore $\Omega_{1} \Omega_{2} = d \mathbf{e}$, dove $\mathbf{e}$ è il versore dell'asse fisso. ![[Pasted image 20260507163147.png]] Scegliendo $\Omega_{1}$ come polo per il calcolo dei momenti, le [[Equazioni cardinali della statica|equazioni cardinali della statica]] assumono la forma: $ \mathbf{R}^{(\mathrm{e}, \mathrm{a})} + \boldsymbol{\Phi}_{1} + \boldsymbol{\Phi}_{2} = \mathbf{0}, \quad \mathbf{M}_{\Omega_{1}}^{(\mathrm{e}, \mathrm{a})} + d \mathbf{e} \wedge \boldsymbol{\Phi}_{2} = \mathbf{0} $ dove $\boldsymbol{\Phi}_{1}$ e $\boldsymbol{\Phi}_{2}$ sono le reazioni incognite nelle due cerniere. Moltiplicando scalarmente la seconda equazione per il versore $\mathbf{e}$, il termine contenente la reazione vincolare si annulla (essendo il prodotto misto nullo), restituendo l'**equazione pura di equilibrio**: $ M_{a}^{(\mathrm{e}, \mathrm{a})} = \mathbf{M}_{\Omega_{1}}^{(\mathrm{e}, \mathrm{a})} \cdot \mathbf{e} = 0 $ Questa equazione scalare permette di determinare le configurazioni di equilibrio in funzione dell'unica [[Coordinate libere e gradi di libertà|coordinata libera]] $\theta$ (l'angolo di rotazione). Il sistema presenta tuttavia un'indeterminazione statica: le rimanenti cinque equazioni scalari non sono sufficienti per determinare univocamente le sei componenti incognite di $\boldsymbol{\Phi}_{1}$ e $\boldsymbol{\Phi}_{2}$. L'indeterminazione si risolve fisicamente sostituendo una delle due cerniere sferiche (es. $\Omega_{2}$) con un anellino liscio, la cui reazione è strettamente ortogonale all'asse, riducendo le incognite a cinque. ![[Pasted image 20260507163157.png]] #### Principio dei lavori virtuali L'equazione pura di equilibrio può essere dedotta in modo elegante tramite il [[Principio dei lavori virtuali|Principio dei lavori virtuali]]. Il vincolo permette unicamente rotazioni virtuali attorno all'asse fisso, descritte dal vettore $\boldsymbol{\epsilon}^{\prime} = \delta \theta \mathbf{e}$. Il lavoro virtuale delle forze attive è: $ \delta L^{(\mathrm{a})} = \mathbf{M}_{\Omega_{1}}^{(\mathrm{e}, \mathrm{a})} \cdot \boldsymbol{\epsilon}^{\prime} = \left(\mathbf{M}_{\Omega_{1}}^{(\mathrm{e}, \mathrm{a})} \cdot \mathbf{e}\right) \delta \theta = M_{a}^{(\mathrm{e}, \mathrm{a})} \delta \theta $ Imponendo $\delta L^{(\mathrm{a})} = 0$ per ogni spostamento virtuale $\delta \theta$ reversibile, si ritrova immediatamente la condizione $M_{a}^{(\mathrm{e}, \mathrm{a})} = 0$. ### Analisi dinamica La cinematica di un corpo rigido con asse fisso è descritta da un solo grado di libertà. Fissando l'asse di rotazione lungo il versore $\mathbf{i}_{3} = \mathbf{e}_{3}$, la configurazione del sistema è univocamente determinata dall'[[Angoli di Eulero|angolo di rotazione]] $\psi(t)$. La **velocità angolare** è semplicemente $\boldsymbol{\omega} = \dot{\psi} \mathbf{i}_{3}$. Assumendo il vincolo ideale, il lavoro virtuale della sollecitazione vincolare deve essere nullo. Scegliendo un polo $\Omega$ sull'asse fisso (quindi $\delta \Omega = \mathbf{0}$), si ha: $ \delta L^{(\mathrm{v})} = \mathbf{M}_{\Omega}^{(\mathrm{v})} \cdot \boldsymbol{\epsilon}^{\prime} = \left(\mathbf{M}_{\Omega}^{(\mathrm{v})} \cdot \mathbf{i}_{3}\right) \delta \psi = 0 \quad \implies \quad \mathbf{M}_{\Omega}^{(\mathrm{v})} \cdot \mathbf{i}_{3} = 0 $ Questa relazione fondamentale indica che una cerniera cilindrica ideale non esplica alcun momento resistente lungo il proprio asse. #### Equazione pura del moto Per ricavare l'equazione del moto, si proietta la seconda delle [[Equazioni cardinali della meccanica|equazioni cardinali della dinamica]] (scritta rispetto al polo fisso $\Omega$) lungo l'asse di rotazione $\mathbf{i}_{3}$: $ \frac{d \mathbf{K}_{\Omega}}{d t} \cdot \mathbf{i}_{3} = \mathbf{M}_{\Omega}^{(\mathrm{a})} \cdot \mathbf{i}_{3} + \mathbf{M}_{\Omega}^{(\mathrm{v})} \cdot \mathbf{i}_{3} $ Poiché il momento vincolare assiale è nullo e il versore $\mathbf{i}_{3}$ è fisso, il termine a sinistra diventa la derivata della componente assiale del momento angolare, ovvero $\frac{d}{dt}(I_{3} \dot{\psi}) = I_{3} \ddot{\psi}$, dove $I_{3}$ è il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione. Si ottiene così l'**equazione pura del moto**: $ I_{3} \ddot{\psi} = M_{\Omega 3}^{(\mathrm{a})}(\psi, \dot{\psi}, t) $ Se le forze attive sono puramente posizionali e ammettono un potenziale $U(\psi)$ tale che $M_{\Omega 3}^{(\mathrm{a})} = U^{\prime}(\psi)$, l'equazione ammette un [[Principio di conservazione dell'energia meccanica|integrale primo]]: $ \frac{1}{2} I_{3} \dot{\psi}^{2} - U(\psi) = E = \text{costante} $ ##### Esempio: Pendolo composto Un'applicazione classica è il [[Pendolo fisico|pendolo composto]], dove l'unica forza attiva è il peso. Se l'asse fisso è orizzontale e il [[Centro di massa|baricentro]] $G$ dista $\delta$ dall'asse, il momento assiale della forza peso è $-mg\delta \sin \psi$. L'equazione del moto diventa: $ \ddot{\psi} + \frac{g \delta}{\rho_{3}^{2}} \sin \psi = 0 $ dove $\rho_{3} = \sqrt{I_{3}/m}$ è il **raggio di girazione**. Questa equazione è formalmente identica a quella del pendolo semplice. #### Calcolo delle reazioni vincolari Le reazioni vincolari si ricavano a posteriori utilizzando le equazioni cardinali. Il risultante $\mathbf{R}^{(\mathrm{v})}$ si ottiene dalla prima equazione: $\mathbf{R}^{(\mathrm{v})} = m \mathbf{a}_{G} - \mathbf{R}^{(\mathrm{a})}$. Le componenti trasversali del momento vincolare $\mathbf{M}_{\Omega}^{(\mathrm{v})}$ si ottengono dalla seconda equazione: $\mathbf{M}_{\Omega}^{(\mathrm{v})} = \dot{\mathbf{K}}_{\Omega} - \mathbf{M}_{\Omega}^{(\mathrm{a})}$. Sviluppando i calcoli, si osserva che l'accelerazione del baricentro $\mathbf{a}_{G}$ e la derivata del momento angolare $\dot{\mathbf{K}}_{\Omega}$ introducono termini proporzionali a $\ddot{\psi}$ (forze d'inerzia tangenziali) e a $\dot{\psi}^{2}$ (forze centrifughe). In particolare, la variazione del momento angolare dipende dai prodotti d'inerzia $I_{13}$ e $I_{23}$: $ \dot{\mathbf{K}}_{\Omega} = (I_{13} \ddot{\psi} - I_{23} \dot{\psi}^{2}) \mathbf{e}_{1} + (I_{23} \ddot{\psi} + I_{13} \dot{\psi}^{2}) \mathbf{e}_{2} + I_{3} \ddot{\psi} \mathbf{e}_{3} $ Queste sollecitazioni dinamiche, variando nel tempo, possono generare vibrazioni e usura nei supporti, rendendo cruciale il bilanciamento del rotore. #### Bilanciamento statico e dinamico Per minimizzare le reazioni vincolari dinamiche, si interviene sulla geometria delle masse del corpo rigido. - **Bilanciamento statico**: Un corpo è bilanciato staticamente se il suo baricentro giace sull'asse di rotazione ($\delta = 0$). In questo caso, l'accelerazione del baricentro è nulla ($\mathbf{a}_{G} = \mathbf{0}$) e il risultante delle reazioni vincolari dinamiche coincide con quello statico. - **Bilanciamento dinamico**: Un corpo è bilanciato dinamicamente se l'asse di rotazione è un [[Assi e momenti principali d'inerzia|asse principale d'inerzia]] per ogni suo punto. Ciò implica che i prodotti d'inerzia si annullino ($I_{13} = I_{23} = 0$). In tal caso, il vettore momento angolare $\mathbf{K}_{\Omega}$ è sempre parallelo alla velocità angolare $\boldsymbol{\omega}$, eliminando i momenti flettenti rotanti sui supporti. Nella pratica ingegneristica (es. equilibratura degli pneumatici), un corpo non bilanciato può essere reso tale aggiungendo o rimuovendo masse in punti specifici. Fissando due masse puntiformi su due piani trasversali distinti, è possibile imporre l'annullamento sia della distanza del baricentro dall'asse (bilanciamento statico) sia dei prodotti d'inerzia (bilanciamento dinamico), risolvendo un sistema algebrico determinato. ### Esempi ed esercizi ##### Esercizi - [ ] Esempi ed esercizi | Lezioni 65-66 Turzi - [ ] Esempio: Pendolo fisico ed equazione secolare | Biscari - [ ] Esempi fondamentali | Biscari ### Collegamenti --- *Per risposte, ulteriori esercizi e approfondimenti consultare le risorse di riferimento.* > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]