### Analisi statica Nello studio della statica di un corpo rigido, un caso di fondamentale importanza è quello in cui il corpo è soggetto a [[Vincoli|vincoli]] di cerniera, che possono essere fissi o mobili. #### Cerniera fissa Nel caso di una **cerniera fissa**, si suppone che un punto $O$ del corpo rigido sia vincolato a mantenere una posizione inalterata nello spazio. ![[Pasted image 20260507163133.png]] Essendo il vincolo fisso, lo spostamento virtuale del punto $O$ è nullo per definizione ($\delta O = \mathbf{0}$). Di conseguenza, la [[Reazioni vincolari|reazione vincolare]] $\boldsymbol{\Phi}$ applicata nella cerniera non compie lavoro virtuale. Indicando con $\delta L^{(\mathrm{v})}$ il lavoro virtuale delle reazioni vincolari, si ha: $ \delta L^{(\mathrm{v})} = \boldsymbol{\Phi} \cdot \delta O = 0 $ In questo scenario, gli [[Spostamenti e velocità virtuali|spostamenti virtuali]] sono tutti reversibili. È importante sottolineare che questa formulazione assume l'idealità del vincolo. Se la cerniera fosse un vincolo reale, esisterebbe una piccola regione nell'intorno di $O$ soggetta a vincolo. In tal caso, indicando con $\mathbf{R}^{(\mathrm{v})}$ il risultante e con $\mathbf{M}_{O}^{(\mathrm{v})}$ il momento risultante delle reazioni vincolari, il lavoro virtuale assumerebbe la forma: $ \delta L^{(\mathrm{v})} = \mathbf{R}^{(\mathrm{v})} \cdot \delta O + \mathbf{M}_{O}^{(\mathrm{v})} \cdot \boldsymbol{\epsilon}^{\prime} = \mathbf{M}_{O}^{(\mathrm{v})} \cdot \boldsymbol{\epsilon}^{\prime} \neq 0 $ Tuttavia, facendo tendere a zero il raggio di tale intorno, il momento $\mathbf{M}_{O}^{(\mathrm{v})}$ si annulla, ricadendo nel caso del vincolo ideale. #### Cerniera mobile Nel caso di una **cerniera mobile**, si assume che due punti $Q^{(1)}$ e $Q^{(2)}$, appartenenti a due corpi rigidi distinti, siano vincolati a occupare la medesima posizione in ogni istante. Il vincolo impone l'uguaglianza cinematica $\delta Q^{(1)} = \delta Q^{(2)}$. Per il principio di azione e reazione, le reazioni vincolari $\boldsymbol{\Phi}_{1}$ e $\boldsymbol{\Phi}_{2}$ applicate nei due punti soddisfano la relazione $\boldsymbol{\Phi}_{1} + \boldsymbol{\Phi}_{2} = \mathbf{0}$. Il lavoro virtuale complessivo risulta quindi nullo: $ \delta L^{(\mathrm{v})} = \boldsymbol{\Phi}_{1} \cdot \delta Q^{(1)} + \boldsymbol{\Phi}_{2} \cdot \delta Q^{(2)} = \delta Q^{(1)} \cdot (\boldsymbol{\Phi}_{1} + \boldsymbol{\Phi}_{2}) = 0 $ Anche in questo caso gli spostamenti virtuali sono reversibili e il lavoro virtuale complessivo del vincolo è nullo, sebbene le singole reazioni possano compiere un lavoro virtuale non nullo sui rispettivi corpi. #### Equazioni di equilibrio Per un corpo rigido vincolato tramite una cerniera ideale in un punto fisso $\Omega$, l'equilibrio è governato dalle [[Equazioni cardinali della statica|equazioni cardinali della statica]]. Essendovi un'unica reazione vincolare $\boldsymbol{\Phi}$ applicata in $\Omega$, il sistema si esprime come: $ \mathbf{R}^{(\mathrm{e}, \mathrm{a})} + \boldsymbol{\Phi} = \mathbf{0}, \quad \mathbf{M}_{\Omega}^{(\mathrm{e}, \mathrm{a})} = \mathbf{0} $ La seconda equazione cardinale ($\mathbf{M}_{\Omega}^{(\mathrm{e}, \mathrm{a})} = \mathbf{0}$) fornisce tre equazioni pure nelle tre incognite posizionali, tipicamente espresse tramite gli [[Angoli di Eulero|angoli di Eulero]] ($\theta, \phi, \psi$), permettendo di determinare le configurazioni di equilibrio. La prima equazione cardinale consente successivamente di calcolare il valore della reazione vincolare $\boldsymbol{\Phi}$ in tali posizioni. Il problema risulta pertanto staticamente determinato. Questa condizione pura di equilibrio può essere dedotta in modo equivalente applicando il [[Principio dei lavori virtuali|Principio dei lavori virtuali]]. Poiché il lavoro virtuale delle forze attive deve essere nullo per ogni rotazione virtuale $\boldsymbol{\epsilon}^{\prime}$, si ottiene $\delta L^{(\mathrm{a})} = \mathbf{M}_{\Omega}^{(\mathrm{e}, \mathrm{a})} \cdot \boldsymbol{\epsilon}^{\prime} = 0$, da cui discende necessariamente l'annullamento del momento risultante delle forze attive rispetto al polo $\Omega$. ### Analisi dinamica Per studiare la dinamica di un corpo rigido con un punto fisso $Q$, si introduce una terna fissa nello spazio e una terna solidale al corpo, entrambe con origine in $Q$. La configurazione del sistema è descritta cinematicamente dalle funzioni del tempo degli **angoli di Eulero**: $\theta(t), \psi(t), \phi(t)$. Come dimostrato nell'analisi statica, una cerniera è ideale se e solo se il momento totale della sollecitazione vincolare rispetto al centro dello snodo è nullo: $ \mathbf{M}_{Q}^{(\mathrm{v})} = \mathbf{0} $ La sollecitazione vincolare è quindi dinamicamente equivalente alla sola forza $\mathbf{R}^{(\mathrm{v})} = \boldsymbol{\Phi}_{Q}$ applicata in $Q$. Scegliendo $Q$ come polo per la seconda delle [[Equazioni cardinali della meccanica|equazioni cardinali della dinamica]], il contributo della reazione vincolare scompare. Si ottiene così un sistema di [[Equazioni di Eulero|equazioni pure del moto]], che sono necessarie e sufficienti per determinare l'evoluzione temporale del sistema. #### Dinamica del corpo rigido pesante Consideriamo il caso in cui l'unica sollecitazione attiva agente sul corpo rigido incernierato in $Q$ sia la [[Forza peso|forza peso]]. ![[Pasted image 20260507162710.png]] *Figura: Corpo rigido pesante con punto fisso* La variazione del momento angolare è data da $\dot{\mathbf{K}}_{Q} = (G - Q) \wedge m\mathbf{g}$, dove $G$ è il [[Centro di massa|baricentro]] del corpo. Scegliendo una terna solidale $\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\}$ coincidente con gli [[Assi e momenti principali d'inerzia|assi principali d'inerzia]] in $Q$, indichiamo con $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ i rispettivi momenti principali. Siano $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$ le componenti della velocità angolare $\boldsymbol{\omega}$, $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ le coordinate fisse del baricentro nel sistema solidale, e $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ i coseni direttori del versore verticale $\mathbf{u}$ (tale che $\mathbf{g} = -g\mathbf{u}$). Le equazioni di Eulero assumono la forma: $ \begin{cases} I_{1} \dot{\omega}_{1} - (I_{2} - I_{3}) \omega_{2} \omega_{3} = mg(u_{2} x_{3} - u_{3} x_{2}) \\ I_{2} \dot{\omega}_{2} - (I_{3} - I_{1}) \omega_{3} \omega_{1} = mg(u_{3} x_{1} - u_{1} x_{3}) \\ I_{3} \dot{\omega}_{3} - (I_{1} - I_{2}) \omega_{1} \omega_{2} = mg(u_{1} x_{2} - u_{2} x_{1}) \end{cases} $ Scegliendo l'asse verticale fisso coincidente con il terzo asse della terna fissa, le componenti del versore verticale in funzione degli angoli di Eulero sono: $ u_{1} = \sin \phi \sin \theta, \quad u_{2} = \cos \phi \sin \theta, \quad u_{3} = \cos \theta $ Si sfrutta poi la costanza del versore verticale nel sistema fisso tramite le [[Formule di Poisson|formule di Poisson]]: $ \frac{d\mathbf{u}}{dt}\bigg|_{\text{fisso}} = \dot{\mathbf{u}}\big|_{\text{solidale}} + \boldsymbol{\omega} \wedge \mathbf{u} = \mathbf{0} $ Proiettando questa relazione sugli assi solidali, si ottengono tre equazioni cinematiche aggiuntive: $ \begin{cases} \dot{u}_{1} + u_{3} \omega_{2} - u_{2} \omega_{3} = 0 \\ \dot{u}_{2} + u_{1} \omega_{3} - u_{3} \omega_{1} = 0 \\ \dot{u}_{3} + u_{2} \omega_{1} - u_{1} \omega_{2} = 0 \end{cases} $ Il sistema accoppiato di sei equazioni differenziali del primo ordine nelle incognite $\{u_{1}, u_{2}, u_{3}, \omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}\}$ definisce un problema di Cauchy ben posto. La sua integrazione analitica è generalmente complessa, tranne in casi particolari. Ad esempio, se il punto fisso coincide con il baricentro ($Q \equiv G$), il momento della forza peso si annulla e il sistema si riduce allo studio dei [[Moti alla Poinsot|moti alla Poinsot]]. #### Rotazioni uniformi di un giroscopio pesante Un'applicazione classica è lo studio delle rotazioni uniformi di un giroscopio pesante (massa $m$) vincolato tramite uno snodo sferico $Q$ posto sul suo asse di simmetria (asse giroscopico), a distanza $d$ dal baricentro. Si definisce una terna fissa con asse $\mathbf{i}_{3}$ verticale e una terna solidale principale d'inerzia in $Q$ con asse $\mathbf{e}_{3}$ lungo l'asse giroscopico (quindi $G - Q = d\mathbf{e}_{3}$). Scegliendo l'asse $\mathbf{e}_{1}$ orizzontale (coincidente con la linea dei nodi, implicando $\phi = 0$), i momenti principali d'inerzia sono $I_{1} = I_{2}$ e $I_{3}$. In una rotazione uniforme, l'angolo di nutazione $\theta$ (tra l'asse giroscopico e la verticale) è costante. Il moto è descritto dalla sola variazione dell'angolo di precessione $\psi$, con velocità angolare costante $\dot{\psi}$. La velocità angolare vettoriale è $\boldsymbol{\omega} = \dot{\psi}\mathbf{u}$. Scomponendo $\mathbf{u}$ nella terna solidale, l'unica equazione di Eulero non identicamente nulla fornisce la condizione dinamica per la rotazione uniforme: $ (I_{3} - I_{2}) \dot{\psi}^{2} \sin \theta \cos \theta = mgd \sin \theta $ L'analisi di questa equazione rivela diversi scenari fisici: - Se $d = 0$ ($Q \equiv G$), si ricade nelle rotazioni uniformi libere. - Le soluzioni $\theta = 0$ e $\theta = \pi$ (baricentro sulla verticale passante per $Q$) sono sempre possibili per qualsiasi valore di $\dot{\psi}$. - Se $I_{2} = I_{3}$ (l'[[Ellissoide d'inerzia|ellissoide d'inerzia]] è sferico in $Q$), le uniche rotazioni uniformi possibili sono quelle con asse verticale ($\theta = 0, \pi$). - Se $I_{2} > I_{3}$ (giroscopio oblato), esistono soluzioni per $\theta \in (\pi/2, \pi)$. Il baricentro deve trovarsi a una quota inferiore rispetto a $Q$. La velocità di precessione è legata all'angolo di nutazione dalla relazione: $ \dot{\psi}^{2} = \frac{mgd}{(I_{2} - I_{3}) \cos \theta} $ - Se $I_{2} < I_{3}$ (giroscopio prolato), esistono soluzioni per $\theta \in (0, \pi/2)$, con il baricentro a quota superiore rispetto a $Q$, governate dalla medesima relazione per $\dot{\psi}^{2}$. La reazione vincolare in $Q$, calcolata tramite la prima equazione cardinale ($\boldsymbol{\Phi}_{Q} = m\mathbf{a}_{G} - m\mathbf{g}$), risulta variare periodicamente nel tempo a causa della rotazione del vettore accelerazione centripeta del baricentro. #### Effetto giroscopico e approssimazione giroscopica Consideriamo ora il moto di un giroscopio pesante sospeso per un punto del suo asse, soggetto alla condizione iniziale in cui la velocità angolare è puramente assiale: $\boldsymbol{\omega}(0) = \omega_{30} \mathbf{e}_{3}$. Dalla terza equazione di Eulero ($I_{3} \dot{\omega}_{3} = 0$) si deduce che la componente assiale della velocità angolare si conserva: $\omega_{3}(t) \equiv \omega_{30}$. Essendo la forza peso conservativa, il sistema ammette l'[[Principio di conservazione dell'energia meccanica|integrale dell'energia]]. Esprimendo la quota del baricentro come $z_{G} = d \cos \theta$, la conservazione dell'energia meccanica impone: $ \frac{1}{2}(I_{1} \omega_{1}^{2} + I_{1} \omega_{2}^{2} + I_{3} \omega_{3}^{2}) - mgd \cos \theta = \text{costante} $ Da cui si ricava una limitazione per le componenti trasversali della velocità angolare: $ \omega_{1}^{2} + \omega_{2}^{2} = \frac{2mgd}{I_{1}} (\cos \theta - \cos \theta_{0}) \implies I_{1}^{2} \omega_{i}^{2} \leq 4mgd I_{1} \quad (i=1,2) $ Analizzando il [[Momento di una forza e Momento angolare|momento delle quantità di moto]] rispetto al polo fisso $\mathbf{K}_{Q} = I_{1} \omega_{1} \mathbf{e}_{1} + I_{1} \omega_{2} \mathbf{e}_{2} + I_{3} \omega_{3} \mathbf{e}_{3}$, si nota che le prime due componenti sono limitate superiormente, mentre la terza è costante e proporzionale alla condizione iniziale $\omega_{30}$. Se si imprime al giroscopio una rotazione iniziale sufficientemente elevata, tale che: $ \omega_{30}^{2} \gg \frac{4mgd I_{1}}{I_{3}^{2}} $ la componente assiale del momento angolare dominerà nettamente sulle componenti trasversali per tutta la durata del moto. Sotto questa ipotesi, è lecito adottare la cosiddetta **approssimazione giroscopica**: $ \mathbf{K}_{Q}(t) \approx I_{3} \omega_{30} \mathbf{e}_{3}(t) $ Sostituendo questa approssimazione nella seconda equazione cardinale ($\mathbf{M}_{Q} = \dot{\mathbf{K}}_{Q}$), si ottiene la legge fondamentale dell'effetto giroscopico: $ \mathbf{M}_{Q} \approx I_{3} \omega_{30} \dot{\mathbf{e}}_{3} \implies \dot{\mathbf{e}}_{3} \approx \frac{\mathbf{M}_{Q}}{I_{3} \omega_{30}} $ Questa equazione descrive due fenomeni controintuitivi e fondamentali della dinamica dei rotori: 1. **Tenacia dell'asse giroscopico**: A parità di momento esterno applicato $\mathbf{M}_{Q}$, la velocità di variazione della direzione dell'asse giroscopico ($\dot{\mathbf{e}}_{3}$) è inversamente proporzionale alla velocità di rotazione propria $\omega_{30}$. Un giroscopio in rapida rotazione oppone una forte "resistenza" ai tentativi di modificarne l'orientamento (principio alla base degli stabilizzatori giroscopici). 2. **Tendenza al parallelismo**: La variazione del versore dell'asse giroscopico $\dot{\mathbf{e}}_{3}$ non avviene nella direzione della forza applicata, ma nella direzione del suo momento. Di conseguenza, la forza peso non fa "cadere" il giroscopio inclinandolo verso il basso, ma induce un moto di precessione attorno alla verticale. L'asse giroscopico cessa di muoversi solo se si allinea parallelamente alla forza esterna (annullando il momento). ### Collegamenti --- *Per risposte, ulteriori esercizi e approfondimenti consultare le risorse di riferimento.* > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]