La descrizione del moto in [[!Meccanica Razionale]] consiste nell'individuare la posizione di un punto materiale $P$ in funzione del tempo $t$ rispetto a un **sistema di riferimento**. Tale analisi permette di distinguere la geometria del percorso (traiettoria) dalla dinamica temporale del movimento (legge oraria). ### Cinematica del punto materiale Il moto di un punto $P$ in un intervallo temporale $I = [t_1, t_2]$ è definito da una funzione vettoriale $\mathbf{P}(t)$ che associa a ogni istante $t \in I$ un vettore posizione nello spazio euclideo. *Guarda le possibili [[Vettori#Definizione e rappresentazione|notazioni vettoriali]].* Fissata un'origine $O$ e una terna ortonormale $\{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}$, il [[Vettori|vettore]] posizione è espresso analiticamente come una **funzione vettoriale del tempo**: $ \color {orange} P - O = \mathbf{P}(t)=x(t)\mathbf{i} + y(t)\mathbf{j} + z(t)\mathbf{k} $ Le funzioni scalari $x(t), y(t), z(t)$ rappresentano le [[coordinate cartesiane]] del punto, e sono anch'esse funzioni del tempo. L'immagine della funzione $\mathbf{P}(t)$ nello spazio definisce la **traiettoria** (o orbita del moto), che geometricamente corrisponde a una [[Curve|curva]], generalmente ipotizzata **regolare**, almeno a tratti per consentire le operazioni di derivazione. ==Si può dire equivalentemente che l'insieme dei punti dello spazio occupati da P si dice **traiettoria o orbita del moto**==. ![[Pasted image 20260506114213.png]] #### Velocità e accelerazione --- La **velocità** del punto $P$ è definita come **derivata del vettore posizione $O P(t)$** e viene indicata brevemente con $\mathbf{v}(t) \mathrm{o}$, più esplicitamente, $\operatorname{con} \mathbf{v}_{P}(t)$ $ \color {orange} \begin{equation*} \mathbf{v}_{P}(t)=\dot{P}(t)=\frac{d P}{d t}=\dot{x}(t) \mathbf{i}+\dot{y}(t) \mathbf{j}+\dot{z}(t) \mathbf{k} \end{equation*} $ Allo stesso modo, definiamo l'**accelerazione** come la **derivata seconda di** $O P(t)$ $ \color {orange} \mathbf{a}_{P}(t)=\ddot{P}(t)=\frac{d^{2} P}{d t^{2}}=\ddot{x}(t) \mathbf{i}+\ddot{y}(t) \mathbf{j}+\ddot{z}(t) \mathbf{k} $ #### Spostamento elementare e legge oraria --- Lo **spostamento infinitesimo** (o elementare) $d P$ corrisponde al **differenziale della funzione $P(t)$**, e vale $ \color {orange} d P=\mathbf{v} d t=(\dot{x}(t) \mathbf{i}+\dot{y}(t) \mathbf{j}+\dot{z}(t) \mathbf{k}) d t $ Il modulo di questo spostamento infinitesimo si identifica (per definizione) con la lunghezza dell' arco percorso dal punto e viene indicato con $ \color {orange} d s=|d P|=|\mathbf{v}(t)| d t=\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}} d t $ La quantità ottenuta per integrazione come $ \color {green} \begin{equation*} s(t)=\int_{t_{1}}^{t}|\mathbf{v}(\tau)| d \tau \end{equation*} $ ==dà luogo alla **legge oraria**, che esprime la lunghezza dell'arco di traiettoria percorso fra l'istante t1 e l'istante generico t. Tale lunghezza s è chiamata **ascissa curvilinea.** == ![[Pasted image 20260506114203.png]] Derivando la legge oraria ricaviamo $\dot{s}=|\mathbf{v}(t)| \geq 0$. Ciò implica che la funzione $s(t)$ sarà strettamente monotona, e quindi invertibile. Utilizzando la funzione $t(s)$ possiamo esprimere la posizione del punto al variare dell'ascissa curvilinea tramite la funzione composta $\hat{P}(s)=P(t(s))$ La funzione $\hat{P}(s)$ **esprime la posizione come funzione dell'ascissa curvilinea** $s$ calcolata a partire dalla posizione corrispondente all'istante $t_{1}$, e fornisce quindi una **descrizione della traiettoria, senza però alcuna informazione su come essa venga percorsa.** ==Per conoscere il moto non è quindi sufficiente avere assegnata la **traiettoria** $\hat{P}(s)$, ma è necessaria anche la **legge oraria** $s(t)$.== *In definitiva, abbiamo due modi equivalenti di descrivere il moto di un punto: la posizione come funzione del tempo, oppure la coppia $\{\hat{P}(s), s(t)\}$, formata da traiettoria e legge oraria.* Osserviamo che la funzione $\hat{P}(s)$ descrive semplicemente una **curva dello spazio**, la traiettoria del moto, prescindendo completamente da ogni riferimento al tempo. ==Quindi, l'utilità della **descrizione del moto nella forma** $\{\hat{P}(s), s(t)\}$ consiste nella possibilità di **separare nettamente l'aspetto geometrico, la traiettoria, dalla parte più propriamente cinematica, la legge oraria.== ### Esempi ed esercizi Per comprendere la differenza tra traiettoria e legge oraria, immagina un treno che viaggia su dei binari. I binari stessi rappresentano la **traiettoria** $\hat{P}(s)$: sono una struttura geometrica fissa nello spazio che indica *dove* il treno può andare. Il cronoprogramma del treno, che indica a che ora il treno si trova in una determinata stazione o a che velocità sta viaggiando in un certo momento, rappresenta la **legge oraria** $s(t)$. È possibile avere lo stesso binario (traiettoria) percorso da un treno ad alta velocità o da un treno merci lento (diverse leggi orarie). ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Cosa è la traiettoria? - [ ] Come si descrive il moto di un punto - [ ] Come si esprime il vettore posizione in un sistema di riferimento ortonormale? *Consultare le risorse selezionate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]