La dinamica di un [[Cinematica del corpo rigido|corpo rigido]] libero è descritta in modo completo dalle [[Equazioni cardinali della meccanica|equazioni cardinali]], che risultano essere condizioni necessarie e sufficienti per determinarne il moto nello spazio. Con sei [[Coordinate libere e gradi di libertà|gradi di libertà]], il sistema evolve univocamente una volta fissate le condizioni iniziali. ### Equazioni del Moto A differenza di un sistema materiale generico, per il quale le equazioni cardinali sono solo necessarie, nel corpo rigido esse sono sufficienti a descrivere il problema dinamico. Questo accade perché il vincolo di rigidità riduce le configurazioni possibili a una varietà di dimensione sei, descrivibile tramite le [[Coordinate cartesiane|coordinate]] del [[centro di massa]] $G$ (x, y, z) e gli [[Angoli di Eulero|angoli di Eulero]] $\Theta = \{\theta, \phi, \psi\}$. In un **sistema di riferimento inerziale**, assumendo il centro di massa come polo, le equazioni si scindono in due blocchi: 1. **Moto del baricentro**: Descritto dalla **prima equazione cardinale**, che lega l'[[Descrizione del moto|accelerazione]] di $G$ al risultante delle [[Forza e quantità di moto|forze]] esterne: $\color {green} m \mathbf{a}_{G} = \mathbf{R}^{(\mathrm{e})}$ 2. **Moto rotazionale**: Descritto dalle [[Equazioni di Eulero|equazioni di Eulero]], proiettate su una terna solidale di [[Assi e momenti principali d'inerzia|assi principali d'inerzia]]: $\color {green} I_{i} \dot{\omega}_{i} - (I_{j} - I_{k}) \omega_{j} \omega_{k} = M_{i}^{(\mathrm{e})}$ Poiché la velocità angolare $\boldsymbol{\omega}$ è legata linearmente alle [[Derivata|derivate]] prime degli angoli di Eulero, il sistema complessivo è un insieme di **sei [[equazioni differenziali lineari del secondo ordine]]**. #### Sollecitazioni equivalenti e ruolo delle forze interne ==Una conseguenza fondamentale della sufficienza delle equazioni cardinali è che la dinamica dipende solo dai vettori caratteristici della sollecitazione: risultante e momento.== Pertanto, [[Sistemi di forze|sollecitazioni esterne]] equivalenti producono moti identici. Ad esempio, la [[Forza peso|forza peso]] può essere trattata come un'unica forza applicata nel centro di massa. ==Le [[Forze interne ed esterne|forze interne]], formando un sistema equilibrato per il [[Principi della meccanica|principio di azione e reazione]], non influenzano il moto globale del corpo rigido==, semplificando drasticamente l'analisi rispetto ai **sistemi deformabili.** ### Teorema dell'Energia Cinetica Il [[Teorema delle forze vive|teorema dell'energia cinetica]] per il corpo rigido si deduce direttamente dalle equazioni cardinali. Moltiplicando scalarmente la prima per $\mathbf{v}_G$ e la seconda per $\boldsymbol{\omega}$, si ottiene la variazione temporale dell'[[Energia cinetica|energia cinetica]] $T$: $\color {green} \dot{T} =\mathbf{R}^{(\mathrm{e})} \cdot \mathbf{v}_{G} + \mathbf{M}_{G}^{(\mathrm{e})} \cdot \boldsymbol{\omega}$ dove il termine a destra rappresenta la [[Lavoro e potenza|potenza]] delle sole forze esterne, essendo nulla la potenza delle forze interne in un [[Atto di moto rigido|atto di moto rigido]]. ### Equazioni di Eulero e angoli di Eulero Risulta possibile scrivere le **equazioni di Eulero** in forma normale rispetto agli [[angoli di Eulero]], vale a dire esplicitate rispetto alle loro derivate seconde. #### Legame cinematico Il legame tra la velocità angolare e le [[Derivata|derivate]] temporali degli angoli di Eulero è espresso dalle relazioni: $ \begin{cases} \omega_{1} = \dot{\theta} \cos \phi + \dot{\psi} \sin \phi \sin \theta \\ \omega_{2} = -\dot{\theta} \sin \phi + \dot{\psi} \cos \phi \sin \theta \\ \omega_{3} = \dot{\psi} \cos \theta + \dot{\phi} \end{cases} $ Derivando queste espressioni rispetto al tempo, si ottengono le componenti dell'[[Velocità e accelerazione angolari|accelerazione angolare]] $\dot{\omega}_i$, le quali dipendono dalle derivate seconde degli angoli ($\ddot{\theta}, \ddot{\psi}, \ddot{\phi}$): $ \begin{align*} \dot{\omega}_{1} &= \ddot{\theta} \cos \phi + \ddot{\psi} \sin \phi \sin \theta - \dot{\theta} \dot{\phi} \sin \phi + \dot{\psi}(\dot{\phi} \cos \phi \sin \theta + \dot{\theta} \sin \phi \cos \theta) \\ \dot{\omega}_{2} &= -\ddot{\theta} \sin \phi + \ddot{\psi} \cos \phi \sin \theta - \dot{\theta} \dot{\phi} \cos \phi + \dot{\psi}(\dot{\theta} \cos \phi \cos \theta - \dot{\phi} \cos \phi \sin \theta) \\ \dot{\omega}_{3} &= \ddot{\psi} \cos \theta + \ddot{\phi} - \dot{\psi} \dot{\theta} \sin \theta \end{align*} $ #### Formulazione Matriciale Sostituendo queste espressioni nelle equazioni di Eulero, il sistema può essere riscritto in forma matriciale: $\color {green} \mathbf{A} \ddot{\Theta} = \mathbf{b}$ dove $\ddot{\Theta} = (\ddot{\theta}, \ddot{\psi}, \ddot{\phi})^T$ e la [[Matrici|matrice]] dei coefficienti $\mathbf{A}$ è: $ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} \cos \phi & \sin \phi \sin \theta & 0 \\ -\sin \phi & \cos \phi \sin \theta & 0 \\ 0 & \cos \theta & 1 \end{pmatrix} $ Il vettore $\mathbf{b}$ raccoglie tutti i termini non lineari (forze centrifughe e di Coriolis nel riferimento rotante) e i momenti delle forze esterne $M_i^{(\mathrm{e})}$. Per poter scrivere il sistema in forma normale ($\ddot{\Theta} = \mathbf{A}^{-1} \mathbf{b}$), la matrice $\mathbf{A}$ deve essere [[Matrici invertibili|invertibile]]. Il suo [[Determinante|determinante]] è: $\operatorname{det} \mathbf{A} = \sin \theta$ Si deduce che la matrice è invertibile per ogni valore di $\theta \in (0, \pi)$. Tuttavia, quando l'angolo di nutazione $\theta$ è pari a $0$ o $\pi$, il determinante si annulla. *Questa condizione è nota come "singolarità degli angoli di Eulero" (o Gimbal Lock), dove la distinzione tra precessione e rotazione propria viene meno, rendendo impossibile determinare univocamente l'evoluzione di ogni singolo angolo.* Al di fuori di queste condizioni possiamo quindi scrivere le equazioni di Eulero in forma normale come: $\color {green} \ddot{\Theta} = \mathbf{A}^{-1} \mathbf{b}$ ### Esempi ed esercizi ##### Domande di teoria - Perché le forze interne non compaiono nelle equazioni del moto di un corpo rigido? - In quali condizioni due corpi rigidi diversi compiono lo stesso moto sotto la stessa sollecitazione? - Dimostrare il teorema dell'energia cinetica per il corpo rigido ##### Esercizi - **Esercizio 1**: Un corpo rigido libero di massa $m=5$ kg è soggetto a una forza costante $\mathbf{F} = (10, 0, 0)$ N applicata nel baricentro. Calcolare la posizione del baricentro dopo $t=2$ s, partendo da fermo nell'origine. - **Esercizio 2**: Dimostrare, partendo dalle equazioni cardinali, che se il momento risultante esterno $\mathbf{M}_G^{(\mathrm{e})}$ è nullo, il [[Momento di una forza e Momento angolare|momento angolare]] $\mathbf{K}_G$ si conserva in un sistema inerziale. ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]