La dinamica del punto materiale analizza l'evoluzione temporale della posizione di un corpo di massa trascurabile in risposta alle forze applicate, basandosi sul [[Principi della meccanica|secondo principio della meccanica]]. Attraverso la risoluzione di equazioni differenziali, è possibile determinare univocamente la traiettoria del punto partendo dalle sue condizioni iniziali. ### Dinamica del punto libero Il moto di un punto materiale libero di massa $m$ è governato dalla seconda legge di Newton, che si configura come una [[Equazioni differenziali|equazione differenziale]] del secondo ordine nella variabile temporale: $m \mathbf{a} = \mathbf{F}(P, \mathbf{v}, t)$ In questa espressione, $\mathbf{a}$ rappresenta l'accelerazione, mentre $\mathbf{F}$ è il risultante delle forze attive, che possono dipendere dalla posizione $P$, dalla velocità $\mathbf{v}$ e dal tempo $t$. Il principio di [[Principi della meccanica|determinismo meccanico]] stabilisce che, assegnate le condizioni iniziali di posizione $P(t_0) = P_0$ e velocità $\mathbf{v}(t_0) = \mathbf{v}_0$, la soluzione del problema di Cauchy associato è unica. I problemi di determinazione del moto si classificano in: - **Diretti**: note le forze e i vincoli, si determina il moto. - **Inversi**: noto il moto desiderato, si calcolano le forze necessarie per produrlo. - **Semi-inversi**: una parte del moto è predeterminata e si ricercano le forze e le restanti componenti cinematiche. #### Integrale dell'Energia Quando le forze attive agenti sul punto sono [[Forze conservative|conservative]], ovvero derivano da un [[Energia potenziale|potenziale]] $U$ (tale che $\mathbf{F} = \nabla U$), l'equazione del moto ammette un integrale primo. Moltiplicando scalarmente l'equazione fondamentale per la velocità $\mathbf{v}$, si ottiene la conservazione dell'energia meccanica: $m \mathbf{a} \cdot \mathbf{v} - \mathbf{F} \cdot \mathbf{v} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} m v^2 - U \right) = 0$ Integrando rispetto al tempo, definiamo la costante $E$: $\frac{1}{2} m v^2 - U = E$ Dove $T = \frac{1}{2} m v^2$ è l'[[energia cinetica]]. Utilizzando la convenzione dell'energia potenziale $V = -U$, l'[[Principio di conservazione dell'energia meccanica|energia meccanica]] totale si scrive come $E = T + V$. Questo approccio permette di studiare il moto in modo scalare. ### Dinamica del punto vincolato In presenza di restrizioni geometriche o cinematiche, il punto non è più libero e l'equazione del moto deve includere la [[Reazioni vincolari|reazione vincolare]] $\boldsymbol{\Phi}$: $m \mathbf{a} = \mathbf{F} + \boldsymbol{\Phi}$ Le reazioni vincolari sono incognite a priori e dipendono dalla natura del vincolo (liscio o scabro). La risoluzione di questi sistemi richiede spesso la proiezione dell'equazione fondamentale lungo direzioni che eliminano $\boldsymbol{\Phi}$ (ad esempio, lungo il piano tangente per vincoli lisci), ottenendo le cosiddette **equazioni pure del moto**. Una volta determinato il moto, è possibile ricavare il valore delle reazioni vincolari necessarie a garantirlo. In presenza di soli [[Sistemi vincolati|vincoli olonomi]], per una trattazione sistematica si rimanda alla [[Meccanica Lagrangiana]]. ##### Esercizi **Risolvere i seguenti esempi ed esercizi:** - [ ] Esempi ed esercizi | Lezione 28 del [[Appunti_MeccRaz_Prof-Turzi.pdf|Turzi]] *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]