La **dinamica relativa** estende le leggi del moto a sistemi di riferimento non inerziali, introducendo le **forze apparenti di trascinamento e di Coriolis.** Questo approccio è fondamentale per descrivere accuratamente fenomeni su scala planetaria e l'interazione tra corpi celesti. #### Forze apparenti e conservazione dell'energia Nella dinamica relativa, l'equazione del moto per un punto materiale di massa $m$ include la [[Teorema di Coriolis|forza di Coriolis]] $\mathbf{F}_{c} = -2m \boldsymbol{\omega} \wedge \mathbf{v}$. Poiché questa forza dipende esplicitamente dalla velocità relativa $\mathbf{v}$, essa non è una forza posizionale e non può essere definita conservativa. Tuttavia, la sua potenza è sempre nulla: $\color {green}\mathbf{F}_{c} \cdot \mathbf{v} = -2m (\boldsymbol{\omega} \wedge \mathbf{v}) \cdot \mathbf{v} = 0$ Questo implica che la forza di Coriolis non compie lavoro e non altera l'integrale dell'energia meccanica del sistema, qualora le altre forze attive siano conservative. #### Il problema dei due corpi e la massa ridotta Il **problema dei due corpi** studia il moto di due masse $m_1$ e $m_2$ interagenti (es. Sole e Terra) in un sistema di riferimento non inerziale solidale a una delle due (es. $P_1$). In questo riferimento traslante, su $P_2$ agisce la forza reale $\mathbf{F}_{21}$ e la forza di trascinamento $\mathbf{F}_{\tau} = -m_2 \mathbf{a}_1$. L'equazione del moto relativo si riduce a: $\color {green}\mu \ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}_{21} = \Psi(r) \mathbf{u}$ dove $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ è la **massa ridotta** e $\mathbf{r}=({P_{2} - P_{1}})$ Questo risultato dimostra che il moto relativo è equivalente a un problema di [[Forza centrale|forza centrale]] per un punto di massa $\mu$ rispetto a un centro fisso. ![[Pasted image 20260512155450.png]] Tale analisi permette di correggere le [[Leggi del moto planetario di Keplero|Leggi di Keplero]]: la terza legge, in particolare, dipende dalla somma delle masse $(m+M)$ e non solo dalla massa del corpo centrale, rendendo la "costante" di Keplero leggermente diversa per ogni pianeta. #### Effetti della rotazione terrestre: la deviazione verso oriente nella caduta dei gravi Un corpo in caduta libera sulla Terra risente della rotazione del pianeta ($\omega_T \approx 7.27 \times 10^{-5} \text{ s}^{-1}$). Utilizzando una terna locale con $\mathbf{e}_1$ (Est), $\mathbf{e}_2$ (Nord) e $\mathbf{e}_3$ (Verticale radiale), le equazioni del moto proiettate sono: - $m \ddot{x} = 2m \omega_T (\dot{y} \sin \lambda - \dot{z} \cos \lambda)$ - $m \ddot{y} = -2m \omega_T \dot{x} \sin \lambda$ - $m \ddot{z} = -mg + 2m \omega_T \dot{x} \cos \lambda$ ![[Pasted image 20260512155514.png]] Per una caduta da un'altezza $h$ con tempo di volo $\tau = \sqrt{2h/g}$, lo sviluppo di Taylor delle soluzioni fornisce una deviazione dominante verso **Oriente** (asse $x$): $x(\tau) \approx \frac{2}{3} h \omega_T \tau \cos \lambda$ Per un'altezza di 20 metri a latitudine media, questa deviazione è dell'ordine del millimetro, un effetto piccolo ma misurabile che conferma la natura non inerziale del riferimento terrestre. ### Esempi ed esercizi Immagina due ballerini che si tengono per mano e ruotano. Se uno è molto pesante (il Sole) e l'altro è leggerissimo (la Terra), il ballerino pesante resterà quasi fermo, mentre il piccolo gli girerà intorno. Ma se sono di peso simile, entrambi ruoteranno attorno a un punto centrale tra di loro, il [[Centro di massa|baricentro]]. Il concetto di **massa ridotta** è un trucco matematico che ci permette di far finta che il ballerino pesante sia perfettamente immobile, "scaricando" tutto l'effetto del movimento combinato su una versione modificata del ballerino piccolo. Questo semplifica i calcoli trasformando un balletto caotico in un semplice moto circolare attorno a un punto fisso. ##### Domande di teoria - Come si definisce la massa ridotta e quali sono i suoi limiti per $m_2 \gg m_1$? - In quale direzione avviene la deviazione principale di un grave in caduta libera e da cosa dipende? ##### Esercizi - Calcolare la deviazione verso Est per un grave lasciato cadere dalla Torre di Pisa ($h \approx 56 \text{ m}$, $\lambda \approx 43.7^\circ$). - Dimostrare che la massa ridotta $\mu$ è sempre minore della più piccola tra le due masse $m_1, m_2$. ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]