Nello studio di un corpo rigido in un sistema non inerziale, le equazioni del moto devono includere il sistema delle forze apparenti. Mentre la [[Forza centrifuga|forza centrifuga]] è posizionale e spesso conservativa, la [[Teorema di Coriolis|forza di Coriolis]] dipende dalla velocità relativa. Tuttavia, per un corpo rigido, la potenza totale delle forze di Coriolis è nulla, poiché la forza agente su ogni punto è sempre ortogonale alla sua velocità relativa. Ciò permette di applicare il [[Teorema delle forze vive|teorema dell'energia cinetica]] nel riferimento relativo in modo analogo a quanto avviene nei sistemi inerziali. #### Sistemi piani uniformemente rotanti Si consideri un sistema rigido vincolato a un piano che ruota con velocità angolare $\boldsymbol{\omega}$ costante attorno a un asse contenuto nel piano stesso. Scegliendo un'origine $O$ sull'asse di rotazione, definiamo: - **Energia cinetica relativa** ($T_r$): calcolata usando le velocità misurate nel piano rotante. $T_{\mathrm{r}}=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} m_{i} v_{i \mathrm{r}}^{2}$ - **Potenziale centrifugo** ($U_{cen}$): espresso tramite il [[Momento d'inerzia|momento d'inerzia]] $I_{\omega}$ rispetto all'asse di rotazione: $U_{cen} = \frac{1}{2} I_{\omega} \omega^{2}$ Se i [[Vincoli|vincoli]] interni al piano sono ideali e fissi nel riferimento relativo, e le forze attive ammettono un **potenziale** $U^{(a)}$, si conserva l'energia meccanica relativa $E$: $\color {green} T_{r} - U^{(a)} - U_{cen} = E$ ==L'equazione è un'equazione pura del moto, e nel caso che il sistema possieda un unico grado di libertà è anche sufficiente a determinare il suo moto.== #### Analisi energetica e potenza del motore Analizzando lo stesso sistema da un riferimento inerziale (fisso), l'[[Energia cinetica|energia cinetica]] assoluta $T_a$ si scompone grazie all'ortogonalità tra velocità relativa $\mathbf{v}_r$ e velocità di trascinamento $\mathbf{v}_{\tau}$ (essendo quest'ultima ortogonale al piano del moto): $T_a = T_r + T_{\tau}$ dove $T_{\tau} = \frac{1}{2} I_{\omega} \omega^2 = U_{cen}$. Per mantenere il piano in rotazione uniforme, è necessario un momento motore che esplichi una potenza $\Pi^{(v)}$. Applicando il teorema dell'energia cinetica nel sistema inerziale: $\dot{T}_a = \Pi^{(v)} + \dot{U}^{(a)}$ Sostituendo le relazioni precedenti, si ottiene un risultato fondamentale per l'ingegneria dei sistemi rotanti: $\color {green} \Pi^{(v)} = 2 \dot{U}_{cen}$ ==La potenza richiesta per mantenere la rotazione costante è pari al doppio della variazione temporale del potenziale centrifugo.== ### Esempi ed esercizi Immaginiamo un'asta vincolata a un tavolo che ruota come un disco in un parco giochi. Se l'asta si sposta verso l'esterno del tavolo, la sua "voglia" di scappare (energia centrifuga) aumenta. Dal punto di vista di chi sta sul disco, l'asta accelera e l'energia sembra conservarsi se contiamo la forza centrifuga come una sorta di gravità che spinge in fuori. Tuttavia, per chi guarda da terra, il tavolo deve "faticare" (erogare potenza) per mantenere la velocità di rotazione costante mentre l'asta si sposta. Se non ci fosse un motore, il tavolo rallenterebbe man mano che l'asta si allontana dal centro. La formula $\Pi^{(v)} = 2 \dot{U}_{cen}$ ci dice esattamente quanto deve "spingere" il motore per contrastare questo effetto. ##### Domande di teoria - Perché la forza di Coriolis non compare nell'equazione di conservazione dell'energia relativa? - Sotto quali condizioni l'energia cinetica assoluta si scompone semplicemente in $T_r + T_{\tau}$? - Qual è il significato fisico del termine $2 \dot{U}_{cen}$ nel bilancio di potenza di un sistema vincolato? ##### Esercizi - Un'asta omogenea di massa $M$ e lunghezza $L$ è incernierata in un punto del piano rotante. Calcolare la potenza del motore necessaria a mantenere $\omega$ costante quando l'asta ruota nel piano con velocità angolare relativa $\dot{\theta}$. - Dimostrare la relazione $\Pi^{(v)} = 2 \dot{U}_{cen}$ partendo dalle definizioni di velocità assoluta e relativa per un sistema di punti materiali. - - Esempi ed esercizi | 12.5 Biscari - Esempi: Bilanciamento attraverso masse puntiformi, Distacco | Biscari - Esempio: piano ruotante attorno a un'asse contenuto nel piano del sistema | Biscari --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]