L'ellissoide d'inerzia è una [[Quadriche|superficie quadratica]] centrata in un polo $O$ che fornisce una rappresentazione geometrica del [[Tensore d'inerzia|tensore d'inerzia]]. Esso permette di visualizzare la distribuzione delle masse e di calcolare il [[Momento d'inerzia|momento d'inerzia]] rispetto a qualunque asse passante per il polo. ### Costruzione ed equazione cartesiana La determinazione del momento d'inerzia $I_u$ rispetto a una direzione individuata dal versore $\mathbf{u}$ può essere espressa in [[Momenti di inerzia rispetto ad assi concorrenti|formulazione matriciale]] tramite $I_u = \mathbf{u} \cdot \mathbf{I}_O \mathbf{u}$ Per visualizzare tale proprietà, si definisce nello spazio il luogo dei punti $P$ tali che la distanza dall'origine sia inversamente proporzionale alla radice quadrata del momento d'inerzia: $ OP = \frac{\mathbf{u}}{\sqrt{I_u}} $ essendo $ \begin{equation*} O P=x \mathbf{e}_{1}+y \mathbf{e}_{2}+z \mathbf{e}_{3}, \quad \mathbf{u}=\alpha \mathbf{e}_{1}+\beta \mathbf{e}_{2}+\gamma \mathbf{e}_{3} \end{equation*} $ Sostituendo le componenti del versore $\mathbf{u} = (\alpha, \beta, \gamma)$ nell'equazione del momento d'inerzia si deduce $ x=\frac{\alpha}{\sqrt{I_{u}}}, \quad y=\frac{\beta}{\sqrt{I_{u}}}, \quad z=\frac{\gamma}{\sqrt{I_{u}}}, $ e quindi sostituendo $\alpha=x \sqrt{I_{u}}, \beta=y \sqrt{I_{u}}, \gamma=z \sqrt{I_{u}}$ si ottiene l'**equazione cartesiana della quadrica:** $ \color {green} I_x x^2 + I_y y^2 + I_z z^2 + 2 I_{xy} xy + 2 I_{xz} xz + 2 I_{yz} yz = 1 $ Poiché il momento d'inerzia è una quantità intrinsecamente positiva, la superficie risultante è sempre un ellissoide. Se il centro $O$ coincide con il baricentro $G$, la superficie prende il nome di **ellissoide centrale di inerzia**. ### Proprietà e forma canonica L'ellissoide d'inerzia permette di interpretare qualitativamente la distribuzione della massa del corpo. Esiste una relazione di proporzionalità inversa tra l'estensione del corpo e quella dell'ellissoide: - Se il corpo è allungato lungo una direzione, il momento d'inerzia rispetto a quell'asse è minimo; di conseguenza, il semiasse dell'ellissoide in quella direzione sarà il massimo. - Se il corpo è schiacciato su un piano, il momento d'inerzia rispetto all'asse ortogonale è massimo, rendendo il corrispondente semiasse dell'ellissoide il minimo. Attraverso lo studio dei [[Massimi e minimi|massimi e minimi]] della forma quadratica (operazione equivalente alla diagonalizzazione della [[Tensore d'inerzia|matrice d'inerzia]]), è possibile ricondurre l'equazione alla sua forma canonica: $ I_1 x_1^2 + I_2 x_2^2 + I_3 x_3^2 = 1 $ In questo sistema di riferimento, gli assi coordinati coincidono con gli assi principali d'inerzia e i coefficienti $I_1, I_2, I_3$ rappresentano i momenti principali d'inerzia. #### Calcolo del momento d'inerzia per assi generici L'ellissoide semplifica il calcolo del momento d'inerzia rispetto a una retta $a_2$ non passante per l'origine. Nota la distanza $d$ dal centro alla superficie dell'ellissoide lungo la direzione parallela ad $a_2$, il momento d'inerzia vale: $ \color {green} I_{a_2} = \frac{1}{d^2} + m(d_2^2 - d_1^2) $ ![[Pasted image 20260506115332.png]] ### Il Giroscopio Un corpo rigido viene definito **giroscopio** quando l'ellissoide centrale d'inerzia possiede una simmetria rotazionale. Ciò accade quando almeno due dei momenti principali d'inerzia sono uguali (ad esempio $I_x = I_y$). In questa condizione: - L'ellissoide d'inerzia è un ellissoide di rotazione (o sferoide). - L'asse di simmetria della figura è detto **asse giroscopico**. - Ogni terna di assi che includa l'asse giroscopico è una terna principale d'inerzia. ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] A cosa serve l'ellissoide d'inerzia, e come si costruisce? - [ ] Che cosa è un giroscopio? Quali sono le sue caratteristiche? *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!example] Playlist > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Giroscopio]]