Le **equazioni di Eulero** descrivono la dinamica rotazionale di un [[Cinematica del corpo rigido|corpo rigido]], mettendo in relazione la variazione della [[Velocità e accelerazione angolari|velocità angolare]] con i momenti delle forze esterne. Esse rappresentano la proiezione della seconda equazione cardinale su una terna di [[Assi e momenti principali d'inerzia|assi principali d'inerzia]] solidale al corpo. #### Scelta del polo e del riferimento Le [[Equazioni cardinali della meccanica|equazioni cardinali]] governano il moto di un sistema materiale, ma nel caso del **corpo rigido** assumono una forma particolarmente potente. Per determinare il moto, è necessario analizzare come le [[Forze interne ed esterne|forze esterne]] influenzino sia la traslazione del [[Centro di massa|baricentro]] sia la rotazione attorno a un polo opportuno. Per semplificare la trattazione, si sceglie come polo $Q$ un punto tale che la relazione tra il momento angolare $\mathbf{K}_Q$ e la velocità angolare $\boldsymbol{\omega}$ sia lineare tramite il [[Tensore d'inerzia|tensore d'inerzia]] $\mathbf{I}_Q$. Le condizioni ideali per il polo $Q$ sono: - Il centro di massa $G$ del corpo. - Un punto fisso nello spazio e appartenente al corpo (se esiste). In questi casi, la seconda equazione cardinale si scrive come: $\dot{\mathbf{K}}_{Q} = \mathbf{M}_{Q}^{(\mathrm{e})}$ dove $\mathbf{M}_{Q}^{(\mathrm{e})}$ è il momento risultante delle forze esterne. Poiché $\mathbf{K}_Q = \mathbf{I}_Q \boldsymbol{\omega}$, la derivata temporale deve tenere conto che il momento d'inerzia è costante solo se visto da un riferimento solidale al corpo. #### Equazioni di Eulero La variazione del momento angolare nel sistema fisso, per le [[Formule di Poisson]], è legata alla variazione nel sistema solidale dalla relazione: $\dot{\mathbf{K}}_Q = \left( \frac{d\mathbf{K}_Q}{dt} \right)_{\text{solidale}} + \boldsymbol{\omega} \wedge \mathbf{K}_Q$ Sostituendo $\mathbf{K}_Q = \mathbf{I}_Q \boldsymbol{\omega}$ e proiettando sugli assi principali d'inerzia (dove la matrice d'inerzia è diagonale con valori $I_1, I_2, I_3$), otteniamo il sistema di equazioni differenziali non lineari del primo ordine: $\color {green} \begin{cases} I_{1} \dot{\omega}_{1} - (I_{2} - I_{3}) \omega_{2} \omega_{3} = M_{1}^{(\mathrm{e})} \\ I_{2} \dot{\omega}_{2} - (I_{3} - I_{1}) \omega_{3} \omega_{1} = M_{2}^{(\mathrm{e})} \\ I_{3} \dot{\omega}_{3} - (I_{1} - I_{2}) \omega_{1} \omega_{2} = M_{3}^{(\mathrm{e})} \end{cases} $ In queste equazioni, $\omega_i$ sono le componenti della velocità angolare lungo gli assi principali e $M_i$ sono le componenti del momento esterno. ### Esempi ed esercizi ##### Domande di teoria - Perché è vantaggioso proiettare le equazioni sugli assi principali d'inerzia? - Cosa accade alle equazioni di Eulero se il corpo è soggetto a un momento esterno nullo? - Qual è la condizione necessaria affinché la velocità angolare rimanga costante nel tempo in assenza di momenti esterni? ##### Esercizi - Un corpo rigido con momenti principali $I_1 = 10, I_2 = 10, I_3 = 20$ kg·m² ruota con velocità angolare iniziale $\boldsymbol{\omega} = (0, 0, 5)$ rad/s. Se viene applicato un momento costante $M = (2, 0, 0)$ Nm, calcolare l'accelerazione angolare iniziale $\dot{\omega}_1$. - Dimostrare che per una sfera omogenea, le equazioni di Eulero si riducono alla forma semplificata $I \dot{\omega}_i = M_i$. ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]