Le **equazioni di Lagrange** costituiscono il cuore della [[Meccanica Lagrangiana]], permettendo di ricavare le equazioni del moto per sistemi a vincoli olonomi, ideali e bilateri. Attraverso l'uso delle coordinate generalizzate e dell'energia del sistema, esse eliminano la necessità di scrivere complesse equazioni vettoriali per studiare il moto di un corpo. #### Dalla relazione simbolica alle equazioni pure Consideriamo un sistema soggetto a [[Vincoli]] olonomi, ideali e bilateri. L'ipotesi di vincolo olonomo permette di esprimere gli [[Spostamenti e velocità virtuali|spostamenti virtuali]] di ogni punto materiale $P_i$ in funzione delle variazioni indipendenti delle [[Coordinate libere e gradi di libertà|coordinate libere]] $q_1, \dots, q_N$: $ \delta P_i = \sum_{k=1}^N \frac{\partial P_i}{\partial q_k} \delta q_k $ Sostituendo questa espressione nell'[[Equazione simbolica della dinamica]] e scambiando le sommatorie, si ottiene: $ \sum_{k=1}^N (Q_k - \tau_k) \delta q_k = 0 $ dove si sono introdotte le **componenti lagrangiane** delle forze attive $Q_k = \sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i \cdot \frac{\partial P_i}{\partial q_k}$ e le componenti lagrangiane delle forze d'inerzia $\tau_k = \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{a}_i \cdot \frac{\partial P_i}{\partial q_k}$. Poiché le coordinate libere sono per definizione indipendenti, le loro variazioni virtuali $\delta q_k$ sono arbitrarie. Affinché la somma sia nulla per ogni possibile scelta dei $\delta q_k$, ogni termine tra parentesi deve annullarsi singolarmente, portando alle **equazioni pure del moto**: $ \color {green} Q_k = \tau_k \quad \text{per ogni } k=1, \dots, N $ #### Binomi Lagrangiani ed energia cinetica Il passo successivo consiste nell'esprimere le componenti d'inerzia $\tau_k$ in funzione dell'[[Energia cinetica]] $T$ del sistema. Sfruttando le regole di derivazione e le dipendenze cinematiche della velocità $\mathbf{v}_i$ dalle coordinate e dalle velocità generalizzate $\dot{q}_k$, si dimostra l'identità dei **binomi lagrangiani**: $ \tau_k = \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_k}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_k} $ Sostituendo questa espressione nelle equazioni pure, si ottengono le **Equazioni di Lagrange** nella loro forma generale: $ \color {green} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_k}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_k} = Q_k $ ### Determinismo Lagrangiano Le **equazioni di Lagrange** sono equazioni differenziali del secondo ordine rispetto al tempo. Per dimostrare che esse garantiscono il **determinismo meccanico** (ovvero l'esistenza e l'unicità del moto date le condizioni iniziali), è necessario scriverle in forma normale, esplicitando le accelerazioni generalizzate $\ddot{q}_k$. L'energia cinetica di un sistema olonomo può essere scritta in forma quadratica rispetto alle velocità generalizzate: $ T(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t) = \frac{1}{2} \dot{\mathbf{q}} \cdot \mathbf{A}(\mathbf{q}, t) \dot{\mathbf{q}} + \mathbf{b}(\mathbf{q}, t) \cdot \dot{\mathbf{q}} + c(\mathbf{q}, t) $ dove $\mathbf{A}$ è la [[Matrice di massa]], definita positiva e quindi invertibile. Grazie a questa proprietà, il sistema di equazioni può essere invertito per isolare il vettore delle accelerazioni $\ddot{\mathbf{q}}$. Se le forze attive sono funzioni sufficientemente regolari (lipschitziane), il Teorema di Cauchy assicura l'esistenza e l'unicità della soluzione del problema ai valori iniziali. ### Funzione Lagrangiana Se il sistema è soggetto esclusivamente a [[Forze conservative]], le componenti lagrangiane delle forze attive derivano da un [[Energia potenziale|potenziale]] $U(\mathbf{q}, t)$ $ Q_k = \frac{\partial U}{\partial q_k} $ Poiché il potenziale dipende solo dalle posizioni e non dalle velocità, si può riscrivere l'equazione di Lagrange in forma generale come $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_k}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_k} = \frac{\partial U}{\partial q_k} \quad \rightarrow \quad \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{k}}\right)-\frac{\partial(T+U)}{\partial q_{k}}=0 . $ Definendo ora la funzione **Lagrangiana** $\mathscr{L}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t) = T + U$, o anche $\color {orange} \mathscr{L} = T + U$ Le equazioni del moto assumono così la loro forma più celebre ed elegante: $ \color {green} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_k}\right) - \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_k} = 0 $ In presenza di forze non conservative, si mantiene la definizione di $\mathscr{L}$ e si aggiungono a secondo membro le componenti lagrangiane delle sole forze non conservative $Q_k^{\text{(n.c.)}}$. $\color {green} \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_{k}}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_{k}}=Q_{k}^{\text {(n.c.) }}, $ ### Esempi ed esercizi Immagina un sistema complesso con fili, carrucole e masse appese. - **Il problema Newtoniano**: Dovresti isolare ogni massa e ogni carrucola, disegnare tutte le tensioni dei fili e le reazioni dei perni, e risolvere un enorme sistema di equazioni vettoriali per trovare l'accelerazione. - **La magia di Lagrange**: Invece di guardare le forze interne, guardi solo l'energia. Scegli una coordinata che descrive tutto il movimento (es. di quanto scende la prima massa, $y_B$). Scrivi l'energia cinetica totale (masse che traslano + carrucole che ruotano) e l'energia potenziale (masse che cambiano quota). - **Il risultato**: Applichi le derivate della Lagrangiana e ottieni direttamente l'accelerazione del sistema, ignorando completamente le tensioni dei fili! Se un filo non scivola su una carrucola (vincolo di [[Moto di puro rotolamento]]), l'energia cinetica rotazionale si aggiunge automaticamente al bilancio, rallentando il moto complessivo. ##### Domande di teoria - Come si dimostra l'indipendenza delle variazioni virtuali $\delta q_k$ e perché è fondamentale per ricavare le equazioni pure del moto? - Qual è il ruolo della matrice di massa nel garantire il determinismo lagrangiano? - Come si modificano le equazioni di Lagrange se il sistema è soggetto a forze di attrito viscoso dipendenti dalla velocità? ##### Esempi ed esercizi - [ ] Esempi ed esercizi | Lezione 58 Turzi - [ ] Esempio: filo vincolato da due carrucole | Biscari ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!example] Playlist > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Meccanica Lagrangiana]]