Nel contesto della meccanica razionale, lo studio dell'equilibrio di un [[Statica del corpo rigido|corpo rigido]] si semplifica notevolmente rispetto ai sistemi di punti materiali generici. Tramite il [[principio dei lavori virtuali]] è possibile dimostrare che per un corpo indeformabile, le [[Equazioni cardinali della meccanica|equazioni cardinali della statica]] non rappresentano solo una condizione necessaria, ma diventano anche la condizione sufficiente per garantire la quiete del sistema. #### Condizione necessaria e sufficiente di equilibrio ==*Un sistema rigido è in equilibrio in una determinata configurazione se e solo se le l'insieme delle forze esterne ad esso applicate è equilibrato*. Questo significa che il sistema deve soddisfare entrambe le [[equazioni cardinali della statica]].== La necessità di queste equazioni è valida per qualunque sistema materiale. Per dimostrarne la sufficienza nel caso del corpo rigido, ci avvaliamo del **principio dei lavori virtuali,** ipotizzando per semplicità la presenza di [[Sistemi vincolati|vincoli ideali]] (se la posizione è di equilibrio per vincoli ideali, lo sarà a maggior ragione per vincoli reali con attrito). Supponiamo che le equazioni cardinali siano soddisfatte. Riscriviamole separando i contributi delle forze attive $(a)$ e delle reazioni vincolari $(v)$: $ \mathbf{R}^{(e, a)} + \mathbf{R}^{(e, v)} = \mathbf{0}, \quad \mathbf{M}_{\Omega}^{(e, a)} + \mathbf{M}_{\Omega}^{(e, v)} = \mathbf{0} $ Il lavoro virtuale delle forze agenti su un corpo rigido dipende esclusivamente dal risultante e dal momento risultante, secondo la formula cinematica: $ \delta L = \mathbf{R} \cdot \delta \Omega + \mathbf{M}_{\Omega} \cdot \delta \boldsymbol{\theta} $ dove $\delta \Omega$ è la traslazione virtuale del polo e $\delta \boldsymbol{\theta}$ è il vettore rotazione virtuale. Moltiplicando scalarmente la prima equazione cardinale per $\delta \Omega$ e la seconda per $\delta \boldsymbol{\theta}$, e sommandole, otteniamo che il lavoro virtuale totale delle forze esterne è nullo: $ \delta L^{(e, a)} + \delta L^{(e, v)} = 0 $ In un corpo rigido, le distanze reciproche tra i punti sono costanti, pertanto il lavoro virtuale delle forze interne è identicamente nullo ($\delta L^{(i)} = 0$). Possiamo quindi aggiungere questo termine nullo all'equazione precedente, ricomponendo il lavoro virtuale totale (attivo e vincolare): $ \delta L^{(a)} + \delta L^{(v)} = 0 $ Poiché abbiamo assunto vincoli ideali, il lavoro virtuale delle reazioni vincolari è sempre non negativo ($\delta L^{(v)} \geq 0$). Di conseguenza, dall'equazione precedente deduciamo che: $\color {green} \delta L^{(a)} \leq 0 $ per ogni [[Spostamenti e velocità virtuali|spostamento virtuale]] a partire dalla configurazione attuale. Per il **principio dei lavori virtuali,** questa è l'esatta condizione sufficiente affinché la configurazione sia di equilibrio. #### Riducibilità delle forze nei corpi rigidi Dalla dimostrazione precedente emerge un corollario di fondamentale importanza pratica: ==l'equilibrio di un corpo rigido dipende *esclusivamente* dai vettori caratteristici del sistema di forze (risultante e momento risultante). == Di conseguenza, ==è sempre possibile sostituire un dato sistema di forze applicato a un singolo corpo rigido con un [[Vettori applicati equivalenti|sistema equivalente]] (ad esempio, riducendolo a un singolo vettore applicato e a una [[Coppia]]) senza alterare in alcun modo le configurazioni di equilibrio del corpo. == *Attenzione:* questa proprietà vale rigorosamente per un *singolo* corpo rigido. In un sistema composto da più corpi rigidi interconnessi, sostituire le forze su un corpo con un sistema equivalente potrebbe alterare le reazioni vincolari interne e, di conseguenza, l'equilibrio globale. ### Equilibrio di corpi rigidi vincolati Per analizzare l'equilibrio di **[[Sistemi vincolati|corpi rigidi vincolati]]** si utilizzano quindi le [[equazioni cardinali della statica]] e/o il [[principio dei lavori virtuali]]. **Alcuni casi notevoli sono:** - [[Corpo rigido con punto fisso#Statica|Corpo rigido con punto fisso]] - [[Corpo rigido con asse fisso#Statica|Corpo rigido con asse fisso]] - [[Corpo rigido appoggiato#Statica|Poligono d'appoggio]] - [[Corpo rigido appoggiato#Statica|Equilibrio di una scala]] ### Esempi ed esercizi Per comprendere la riducibilità delle forze e l'equilibrio del corpo rigido, immagina di dover appendere un quadro pesante alla parete. Il quadro è composto da miliardi di atomi, ciascuno attratto verso il basso dalla gravità (un sistema di infinite forze parallele). Invece di calcolare l'equilibrio per ogni singolo atomo, la teoria ci permette di ridurre questo sistema complesso a un'unica forza equivalente (il peso totale) applicata nel [[Centro di massa|baricentro]] del quadro. Per garantire l'equilibrio (traslatorio e rotatorio), sarà sufficiente piantare un chiodo lungo la retta d'azione verticale passante per il baricentro: il chiodo fornirà una reazione vincolare uguale e contraria al peso totale, soddisfacendo le equazioni cardinali e garantendo la quiete dell'intero quadro. ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Enuncia la condizione necessaria e sufficiente per l'equilibrio di un corpo rigido - [ ] Perché il lavoro virtuale delle forze interne in un corpo rigido è sempre nullo? *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ##### Esempi ed esercizi **Risolvere i seguenti esempi ed esercizi:** - [ ] Asta pesante soggetta all'azione di due molle | Biscari - [ ] Esempi di problemi di statica | 8.12 Biscari - [ ] Esercizi di Statica | Lezioni 50-52 + 57 Turzi - [ ] Esercizi di Statica | Battaia *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]