*Per ulteriori indicazioni consultare: - *Riepilogo dei risultati del [[!Meccanica Razionale#Bibliografia|Turzi]] (I)* - *Riepilogo dei risultati del [[!Meccanica Razionale#Bibliografia|Turzi]] (II)* --- ### Formulario #### Capitolo 8: Dinamica del punto materiale | Formula | Descrizione | Utilizzo e Importanza | | :--- | :--- | :--- | | $m \ddot{s} = F_t - f_d \sqrt{\left( m \frac{\dot{s}^2}{\rho} - F_n \right)^2 + F_b^2} \frac{\dot{s}}{\|\dot{s}\|}$ | Equazione del moto su guida scabra | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Si utilizza per determinare la legge oraria di un punto su una curva in presenza di attrito dinamico, accoppiando la dinamica tangenziale agli effetti normali e centrifughi. | | $m \ddot{s}=F_{t}(s)-f_{d} \sqrt{ F_{n}^{2}(s)+F_{b}^{2}(s)}=\phi(s)$ | Equazione del moto su guida scabra (forze posizionali) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Variante semplificata per moti unidirezionali con forze dipendenti solo dalla posizione, utile per ricavare un potenziale efficace. | | $\dot{\mathcal{A}} = \frac {dA}{dt} =\frac{1}{2} r^2 \dot{\theta} = \frac{c}{2} = \text{costante}$ | Velocità areolare | **Definizione Operativa**: Si applica nei moti centrali per calcolare la rapidità con cui il raggio vettore spazza l'area (Seconda Legge di Keplero). | | $a_r =\ddot{r}-r \dot{\theta}^{2}= -\frac{c^2}{r^2} \left[ \frac{d^2}{d\theta^2} \left( \frac{1}{r} \right) + \frac{1}{r} \right]$ | Formula di Binet | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Fondamentale per ricavare l'equazione dell'orbita $r(\theta)$ conoscendo la forza centrale, o viceversa. | | $E = \frac{1}{2} m \dot{r}^2 - U_{\text{eff}}(r), \quad \text{con} \quad U_{\text{eff}}(r) = U(r) - \frac{m c^2}{2 r^2}$ | Energia meccanica con potenziale efficace | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Riduce il problema 2D del moto centrale a un problema 1D radiale, essenziale per lo studio qualitativo delle orbite (cerchi apsidali). | | $T^2 = k a^3$ | Terza legge di Keplero | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Mette in relazione il periodo orbitale con il semiasse maggiore dell'ellisse. | | $a_r = -\frac{c^2}{r^2} \left[ \frac{d^2}{dt^2} \left( \frac{1}{r} \right) + \frac{1}{r} \right] = -\frac{c^2}{p r^2}$ | Accelerazione radiale (orbita ellittica) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Dimostra la dipendenza dell'accelerazione dai parametri geometrici dell'ellisse. | | $a_r = -K/r^2$ | Accelerazione gravitazionale | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Esprime la proporzionalità inversa al quadrato della distanza nel moto planetario. | | $\mathbf{F}=-\frac{K m}{r^{2}} \mathbf{u}, \quad \text{con} \quad \mathbf{u}=\frac{1}{r} OP$ | Forza gravitazionale (forma vettoriale) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Base per la formulazione della gravitazione universale a partire dalle leggi di Keplero. | | $\vec F_{12}=-\vec F_{21} =-G\frac {m_1\cdot m_2}{r^2}\vec u_r$ | Legge di Gravitazione Universale | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Calcolo dell'interazione attrattiva tra due masse qualsiasi nello spazio. | #### Capitolo 9: Dinamica dei sistemi | Formula | Descrizione | Utilizzo e Importanza | | :--- | :--- | :--- | | $T = \frac{1}{2}mv_G^2 + T^{(G)}$ | Teorema di König (Energia Cinetica) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Scompone l'energia cinetica in termine traslazionale del baricentro e termine relativo. Cruciale per il calcolo energetico di sistemi complessi. | | $T_S= \frac{1}{2}mv_G^2+\sum \frac 12m_iv_i'^2$ | Teorema di König (Sistemi discreti) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Applicazione del teorema a un sistema di $N$ punti materiali. | | $T = \frac{1}{2} m v_G^2 + \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega} \cdot (\mathbf{I}_G \boldsymbol{\omega})$ | Energia cinetica del corpo rigido | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Calcolo operativo dell'energia cinetica tramite il tensore d'inerzia baricentrale. | | $T= \frac{1}{2}mv_G^2+\frac 12 \mathbf{I}_G\omega^2$ | Energia cinetica (rotazione asse principale) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Forma semplificata quando la rotazione avviene attorno a un asse principale d'inerzia. | | $\mathbf{K}_Q = \mathbf{K}_G + \mathbf{K}'_G=\vec{QG} \times M\mathbf{v}_G + \mathbf{K}'_G$ | Teorema di König (Momento Angolare) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Scompone il momento angolare rispetto a un polo generico $Q$. | | $\mathbf{K}_Q=\vec{QG} \times M\mathbf{v}_G +\sum(\vec r'_i\times m_i\vec v'_i)$ | Momento angolare (Sistemi discreti) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Calcolo del momento angolare per un sistema di punti. | | $\mathbf{K}_Q=\vec{QG} \times M\mathbf{v}_G +\int_V (\vec r'_i\times \vec v'_i) dm = \vec{QG} \times M\mathbf{v}_G + \mathbf{I}_G \boldsymbol{\omega}$ | Momento angolare del corpo rigido | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Calcolo del momento angolare per un corpo continuo in atto di moto rigido. | | $\mathbf{K}_G = \mathbf{I}_G \boldsymbol{\omega}$ | Momento angolare baricentrico | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Relazione lineare tra momento angolare e velocità angolare rispetto al baricentro. | | $\mathbf{R}^{(e)} = \frac{d\mathbf{Q}}{dt}$ | Prima Equazione Cardinale | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Lega la risultante delle forze esterne alla variazione della quantità di moto totale. | | $\mathbf{R}^{(e)} =M\frac{d\mathbf{v}_G}{dt}= M \mathbf{a}_G$ | Teorema del moto del baricentro | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Permette di studiare la traslazione del sistema come se fosse un singolo punto materiale. | | $\mathbf{M}_\Omega^{(e)} = \frac{d\mathbf{K}_\Omega}{dt} + (\mathbf{v}_\Omega \times \mathbf{Q})$ | Seconda Equazione Cardinale (polo generico) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Equazione generale per la dinamica rotazionale. | | $\mathbf{M}_\Omega^{(e)} = \frac{d\mathbf{K}_\Omega}{dt}$ | Seconda Equazione Cardinale (polo fisso o $G$) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Forma semplificata da usare quando il polo è fisso, coincide con $G$, o ha velocità parallela a $G$. | | $M_z^{(e)} = I_z \alpha$ | Dinamica rotazionale asse fisso | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Proiezione della seconda equazione cardinale per rotazioni piane. | | $\mathbf{R}^{(\mathrm{e})} \cdot \mathbf{e}_{j}=0 \implies \mathbf{Q} \cdot \mathbf{e}_{j}=Q_{j}=m v_{G j} \equiv \text{costante}$ | Conservazione della quantità di moto | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Identifica un integrale primo traslazionale in assenza di forze esterne lungo una direzione. | | $\mathbf{M}_{\Omega}^{(\mathrm{e})} \cdot \mathbf{e}_{j}=0 \implies \mathbf{K}_{\Omega} \cdot \mathbf{e}_{j}=K_{\Omega j} \equiv \text{costante}$ | Conservazione del momento angolare | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Identifica un integrale primo rotazionale in assenza di momenti esterni lungo un asse. | | $\dot{T} = \Pi$ | Teorema dell'energia cinetica (Potenza) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Bilancio istantaneo tra variazione di energia cinetica e potenza totale esplicata. | | $W = \Delta T = T_f - T_i$ | Teorema delle forze vive (Lavoro) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Bilancio integrale tra lavoro totale e variazione finita di energia cinetica. | | $L=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \Pi(t) d t=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \dot{T}(t) d t=\Delta T$ | Dimostrazione Teorema forze vive | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Legame formale tra potenza, lavoro e variazione di energia cinetica. | #### Capitolo 10: Dinamica del corpo rigido | Formula | Descrizione | Utilizzo e Importanza | | :--- | :--- | :--- | | $\begin{cases} I_{1} \dot{\omega}_{1} - (I_{2} - I_{3}) \omega_{2} \omega_{3} = M_{1}^{(\mathrm{e})} \\ I_{2} \dot{\omega}_{2} - (I_{3} - I_{1}) \omega_{3} \omega_{1} = M_{2}^{(\mathrm{e})} \\ I_{3} \dot{\omega}_{3} - (I_{1} - I_{2}) \omega_{1} \omega_{2} = M_{3}^{(\mathrm{e})} \end{cases}$ | Equazioni di Eulero | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Sistema differenziale per determinare la velocità angolare nel riferimento solidale principale d'inerzia. | | $m \mathbf{a}_{G} = \mathbf{R}^{(\mathrm{e})}$ | Moto del baricentro (Corpo libero) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Determina la traslazione del corpo rigido libero nello spazio. | | $I_{i} \dot{\omega}_{i} - (I_{j} - I_{k}) \omega_{j} \omega_{k} = M_{i}^{(\mathrm{e})}$ | Moto rotazionale (Corpo libero) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Forma compatta delle equazioni di Eulero per gli indici ciclici. | | $\dot{T} =\mathbf{R}^{(\mathrm{e})} \cdot \mathbf{v}_{G} + \mathbf{M}_{G}^{(\mathrm{e})} \cdot \boldsymbol{\omega}$ | Potenza delle forze esterne | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Calcolo della variazione di energia cinetica per un corpo rigido (le forze interne non compiono lavoro). | | $\mathbf{A} \ddot{\Theta} = \mathbf{b}$ | Equazioni di Eulero (forma matriciale) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Esprime la dinamica rotazionale in funzione delle derivate seconde degli angoli di Eulero. | | $\ddot{\Theta} = \mathbf{A}^{-1} \mathbf{b}$ | Forma normale delle equazioni | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Utilizzata per l'integrazione numerica o analitica del moto, valida fuori dalle singolarità (Gimbal Lock). | | $\mathbf{M}_{Q}^{(\mathrm{e})} = \mathbf{0}$ | Condizione per Moti alla Poinsot | **Definizione Operativa**: Definisce i moti in cui il momento esterno è costantemente nullo rispetto al polo. | | $\mathbf{K}_{Q} = \mathbf{I}_{Q} \boldsymbol{\omega} = \text{costante} = \mathbf{K}_{0}$ | Conservazione momento angolare (Poinsot) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Primo integrale del moto alla Poinsot. | | $T_{0} = \frac{1}{2} \mathbf{K}_{Q} \cdot \boldsymbol{\omega} = \frac{1}{2} \mathbf{I}_{Q} \boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{\omega} = \text{costante}$ | Conservazione energia cinetica (Poinsot) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Secondo integrale del moto alla Poinsot. | | $\omega_{K_{0}}=\frac{\boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{K}_{0}}{K_{0}}=\frac{2 T_{0}}{K_{0}}$ | Proiezione di $\boldsymbol{\omega}$ su $\mathbf{K}_0$ | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Dimostra che la componente della velocità angolare lungo l'asse invariante è costante. | | $\boldsymbol{\omega}=\frac{\mathbf{K}_{Q}}{I_{1}}-\alpha \omega_{30} \mathbf{e}_{3}$ | Velocità angolare del giroscopio | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Descrive la precessione regolare di un corpo a simmetria cilindrica in moto alla Poinsot. | #### Capitolo 11: Meccanica relativa | Formula | Descrizione | Utilizzo e Importanza | | :--- | :--- | :--- | | $m \mathbf{a} = \mathbf{F} + \mathbf{F}_{\tau} + \mathbf{F}_{c}$ | Equazione della dinamica relativa | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Legge di Newton corretta per sistemi di riferimento non inerziali. | | $\mathbf{F}_{\tau} = -m \left( \mathbf{a}_{O} + \dot{\boldsymbol{\omega}} \wedge OP + \boldsymbol{\omega} \wedge (\boldsymbol{\omega} \wedge OP) \right)$ | Forza di trascinamento | **Definizione Operativa**: Calcolo della forza apparente dovuta all'accelerazione e rotazione del sistema di riferimento. | | $\mathbf{F}_{c} = -2m \boldsymbol{\omega} \wedge \mathbf{v}$ | Forza di Coriolis | **Definizione Operativa**: Calcolo della forza apparente dipendente dalla velocità relativa del punto. | | $\mathbf{F} + \mathbf{F}_{\tau} = \mathbf{0}$ | Statica relativa | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Condizione di equilibrio in un sistema non inerziale (Coriolis è nulla). | | $\mathbf{F}_{\mathrm{cen}} = -m \boldsymbol{\omega} \wedge (\boldsymbol{\omega} \wedge OP)$ | Forza centrifuga | **Definizione Operativa**: Componente della forza di trascinamento in sistemi in rotazione uniforme. | | $\mathbf{M}_{O} = I_{xy} \omega^{2} \mathbf{k}$ | Momento centrifugo (sistemi piani) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Calcolo del momento generato dalle forze centrifughe, dipendente dal prodotto d'inerzia. | | $m \mathbf{g} = m \left( -G \frac{M_{T}}{r^{2}} \mathbf{u} + \omega_{T}^{2} QP \right)$ | Forza peso effettiva | **Definizione Operativa**: Composizione vettoriale dell'attrazione gravitazionale e della forza centrifuga terrestre. | | $g(\lambda) = \sqrt{\left( G \frac{M_{T}}{r^{2}} - \omega_{T}^{2} r \cos^{2} \lambda \right)^{2} + \left( \omega_{T}^{2} r \sin \lambda \cos \lambda \right)^{2}}$ | Accelerazione di gravità vs Latitudine | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Calcolo esatto di $g$ in funzione della latitudine $\lambda$. | | $\mathbf{F}_{c} \cdot \mathbf{v} = -2m (\boldsymbol{\omega} \wedge \mathbf{v}) \cdot \mathbf{v} = 0$ | Potenza nulla di Coriolis | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Dimostra che la forza di Coriolis non compie lavoro e non altera l'energia meccanica. | | $\mu \ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}_{21} = \Psi(r) \mathbf{u}$ | Problema dei due corpi (massa ridotta) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Riduce il problema a due corpi a un problema di forza centrale per una singola massa equivalente $\mu$. | | $T_{r} - U^{(a)} - U_{cen} = E$ | Conservazione energia relativa | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Integrale dell'energia in sistemi rotanti, includendo il potenziale centrifugo. | | $\Pi^{(v)} = 2 \dot{U}_{cen}$ | Potenza del motore di trascinamento | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Calcola la potenza necessaria per mantenere costante la rotazione di un sistema vincolato. | | $\Pi_c = \mathbf{F}_{c} \cdot \mathbf{v} = -2m (\boldsymbol{\omega} \wedge \mathbf{v}) \cdot \mathbf{v} = 0$ | Potenza di Coriolis | **Definizione Operativa**: Verifica formale della nullità del lavoro di Coriolis. | | $\mathbf{R} = \sum_{i=1}^{n} \mathbf{F}_{\mathrm{c} i}=-2M \boldsymbol{\omega} \wedge \mathbf{v}_{G}$ | Risultante di Coriolis (Corpo rigido) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Riduce il sistema di forze di Coriolis a una singola forza applicata nel baricentro. | #### Capitolo 12: Meccanica Lagrangiana | Formula | Descrizione | Utilizzo e Importanza | | :--- | :--- | :--- | | $\sum_{i=1}^{n} (\mathbf{F}_i - m_i \mathbf{a}_i) \cdot \delta P_i \leq 0$ | Relazione simbolica della dinamica | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Principio variazionale generale per sistemi a vincoli ideali (anche unilateri). | | $\sum_{i=1}^{n} (\mathbf{F}_i - m_i \mathbf{a}_i) \cdot \delta P_i = 0$ | Equazione simbolica della dinamica | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Base della meccanica analitica per vincoli ideali e bilateri. | | $Q_k = \tau_k \quad \text{per ogni } k=1, \dots, N$ | Equazioni pure del moto | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Uguaglianza tra componenti lagrangiane attive e d'inerzia. | | $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_k}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_k} = Q_k$ | Equazioni di Lagrange (forma generale) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Equazioni differenziali del moto per sistemi olonomi, valide anche per forze non conservative. | | $\mathscr{L} = T + U$ | Funzione Lagrangiana | **Definizione Operativa**: Costruzione della funzione scalare fondamentale per sistemi conservativi ($U = -V$). | | $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_k}\right) - \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_k} = 0$ | Equazioni di Lagrange (sistemi conservativi) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Forma standard ed elegante per ricavare le equazioni del moto derivando un solo scalare. | | $\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_{k}}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_{k}}=Q_{k}^{\text {(n.c.) }}$ | Equazioni di Lagrange (forze miste) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Estensione per includere forze attive non conservative a secondo membro. | | $p_x = m\dot{x} = \text{costante}$ | Integrale della quantità di moto | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Esempio di momento cinetico conservato per una coordinata traslazionale ciclica. | | $p_\psi = \frac{\partial T}{\partial \dot{\psi}}=\mathbf{K}_G \cdot \mathbf{i}_3$ | Integrale del momento angolare (precessione) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Conservazione della componente assiale del momento angolare se $\psi$ è ciclica. | | $p_\phi =\frac{\partial T}{\partial \dot{\phi}}= \mathbf{K}_G \cdot \mathbf{e}_3$ | Integrale del momento angolare (rotazione) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Conservazione della componente solidale del momento angolare se $\phi$ è ciclica. | | $H = \sum_{k} p_k \dot{q}_k - \mathscr{L}$ | Funzione Hamiltoniana (definizione generale) | **Definizione Operativa**: Trasformata di Legendre della Lagrangiana, base per la meccanica Hamiltoniana. | | $\mathscr{H}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t) = \sum_{k=1}^{N} \dot{q}_k \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_k} - \mathscr{L}$ | Hamiltoniana (forma esplicita) | **Definizione Operativa**: Calcolo operativo dell'Hamiltoniana a partire dalle coordinate e velocità generalizzate. | | $\frac{d \mathscr{H}}{dt} = -\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial t}$ | Derivata temporale dell'Hamiltoniana | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Dimostra che l'Hamiltoniana si conserva se la Lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo. | | $\mathscr{H} = T - U = E$ | Teorema dell'energia | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Se i vincoli sono fissi e le forze conservative, l'Hamiltoniana coincide con l'energia meccanica totale. | | $S = \int_{t_1}^{t_2} \mathscr{L}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t) dt$ | Azione | **Definizione Operativa**: Funzionale integrale valutato lungo una traiettoria nello spazio delle configurazioni. | | $\delta S = \delta \int_{t_1}^{t_2} \mathscr{L}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t) dt = 0$ | Principio di minima azione (Hamilton) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Principio variazionale da cui scaturiscono le equazioni di Lagrange. | | $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_k}\right) - \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_k} = -\frac{\partial \mathscr{D}}{\partial \dot{q}_k}$ | Eq. di Lagrange con dissipazione | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Inclusione sistematica delle forze di attrito viscoso tramite la funzione di Rayleigh $\mathscr{D}$. | | $\frac{dE}{dt} = -2\mathscr{D}$ | Tasso di perdita di energia | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Dimostra che l'energia meccanica decade a un tasso pari al doppio della funzione di dissipazione. | ### Procedura generale **Esercizio tipo 1: Dinamica del corpo rigido tramite Equazioni Cardinali** 1. **Analisi Cinematica**: Identifica i gradi di libertà del sistema. Scegli un sistema di riferimento opportuno (es. terna solidale principale d'inerzia per usare le equazioni di Eulero). Esprimi l'accelerazione del baricentro $\mathbf{a}_G$ e l'accelerazione angolare $\dot{\boldsymbol{\omega}}$ in funzione delle coordinate scelte. 2. **Diagramma di corpo libero**: Isola il corpo rigido. Disegna tutte le forze attive (peso, molle, forze applicate) e le reazioni vincolari incognite nei punti di contatto/vincolo. 3. **Prima Equazione Cardinale**: Scrivi l'equazione vettoriale della traslazione: $\sum \mathbf{F}^{(e)} + \sum \mathbf{\Phi} = m\mathbf{a}_G$. Proietta l'equazione sugli assi cartesiani per ottenere equazioni scalari. 4. **Seconda Equazione Cardinale**: Scegli un polo conveniente (il baricentro $G$ o un punto fisso $O$). Calcola i momenti di tutte le forze rispetto al polo. Scrivi l'equazione $\sum \mathbf{M}_\Omega^{(e)} = \dot{\mathbf{K}}_\Omega$. Se usi $G$ o un punto fisso e gli assi principali, applica direttamente le Equazioni di Eulero. 5. **Risoluzione**: Metti a sistema le equazioni scalari ottenute. Se il problema richiede la legge oraria, risolvi le equazioni differenziali pure. Se richiede le reazioni vincolari, sostituisci le accelerazioni trovate nelle equazioni contenenti le incognite vincolari. **Esercizio tipo 2: Ricerca delle equazioni del moto tramite Meccanica Lagrangiana** 1. **Gradi di libertà e Coordinate**: Determina il numero di gradi di libertà $N$. Scegli $N$ coordinate generalizzate indipendenti $\mathbf{q} = (q_1, \dots, q_N)$. 2. **Calcolo dell'Energia Cinetica ($T$)**: Esprimi la velocità dei baricentri e le velocità angolari dei corpi in funzione di $\mathbf{q}$ e $\dot{\mathbf{q}}$. Calcola $T$ usando il Teorema di König ($T = \frac{1}{2}mv_G^2 + \frac{1}{2}I_G\omega^2$). 3. **Calcolo dell'Energia Potenziale ($U$)**: Scegli uno zero per l'energia potenziale gravitazionale ed elastica. Esprimi le quote e gli allungamenti in funzione di $\mathbf{q}$. Scrivi $U(\mathbf{q})$. 4. **Costruzione della Lagrangiana**: Scrivi la funzione $\mathscr{L} = T + U$. 5. **Derivazione**: Per ogni coordinata $q_k$, calcola le tre derivate fondamentali: $\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_k}$, $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_k}\right)$, e $\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_k}$. 6. **Equazioni del moto**: Sostituisci le derivate nell'equazione di Lagrange $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_k}\right) - \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_k} = 0$ per ottenere il sistema di equazioni differenziali pure. **Esercizio tipo 3: Dinamica in sistemi di riferimento non inerziali (Meccanica Relativa)** 1. **Definizione dei riferimenti**: Identifica il sistema di riferimento fisso (inerziale) e quello mobile (non inerziale). Determina l'accelerazione dell'origine mobile $\mathbf{a}_O$ e la velocità angolare di trascinamento $\boldsymbol{\omega}$. 2. **Cinematica relativa**: Esprimi la posizione $OP$, la velocità relativa $\mathbf{v}$ e l'accelerazione relativa $\mathbf{a}$ del punto nel sistema mobile. 3. **Calcolo delle Forze Apparenti**: - Calcola la forza di trascinamento: $\mathbf{F}_{\tau} = -m \left( \mathbf{a}_{O} + \dot{\boldsymbol{\omega}} \wedge OP + \boldsymbol{\omega} \wedge (\boldsymbol{\omega} \wedge OP) \right)$. - Calcola la forza di Coriolis: $\mathbf{F}_{c} = -2m \boldsymbol{\omega} \wedge \mathbf{v}$. 4. **Equazione del moto relativo**: Applica la seconda legge di Newton nel sistema mobile: $m\mathbf{a} = \mathbf{F}_{reali} + \mathbf{F}_{\tau} + \mathbf{F}_{c}$. 5. **Integrazione o Analisi Energetica**: Proietta l'equazione sugli assi mobili. Se richiesto, sfrutta la conservazione dell'energia relativa $E = T_r - U^{(a)} - U_{cen}$ (ricordando che Coriolis non compie lavoro). ### Legenda - $m, M$: Massa del punto materiale o del corpo rigido [$kg$] - $s$: Ascissa curvilinea [$m$] - $\rho$: Raggio di curvatura della traiettoria [$m$] - $F_t, F_n, F_b$: Componenti tangenziale, normale e binormale della forza attiva [$N$] - $f_d$: Coefficiente di attrito dinamico [Adimensionale] - $\mathcal{A}$: Area spazzata dal raggio vettore [$m^2$] - $r$: Distanza radiale o raggio [$m$] - $\theta, \phi, \psi$: Angoli (es. coordinate polari o angoli di Eulero) [$rad$] - $c$: Modulo del momento angolare specifico (costante delle aree) [$m^2/s$] - $E$: Energia meccanica totale [$J$] - $U$: Energia potenziale (o funzione potenziale) [$J$] - $U_{\text{eff}}$: Potenziale efficace nei moti centrali [$J$] - $T$: Energia cinetica [$J$] - $T$: Periodo orbitale (nelle leggi di Keplero) [$s$] - $a$: Semiasse maggiore dell'ellisse o accelerazione [$m$ o $m/s^2$] - $K$: Costante gravitazionale planetaria ($G \cdot M$) [$m^3/s^2$] - $\mathbf{F}$: Vettore forza [$N$] - $G$: Costante di gravitazione universale [$N \cdot m^2 / kg^2$] - $\mathbf{u}$: Versore direzionale [Adimensionale] - $\mathbf{v}_G$: Velocità del centro di massa [$m/s$] - $\mathbf{I}_G$: Tensore d'inerzia baricentrale [$kg \cdot m^2$] - $\boldsymbol{\omega}$: Vettore velocità angolare [$rad/s$] - $\mathbf{K}_Q$: Momento angolare rispetto al polo $Q$ [$kg \cdot m^2/s$] - $\mathbf{R}^{(e)}$: Risultante delle forze esterne [$N$] - $\mathbf{M}_\Omega^{(e)}$: Momento risultante delle forze esterne rispetto a $\Omega$ [$N \cdot m$] - $\Pi$: Potenza meccanica [$W$] - $W$: Lavoro meccanico [$J$] - $I_i$: Momenti principali d'inerzia [$kg \cdot m^2$] - $\Theta$: Vettore colonna degli angoli di Eulero [$rad$] - $\mathbf{A}$: Matrice dei coefficienti cinematici o matrice di massa [Unità variabili] - $\mathbf{b}$: Vettore dei termini noti dinamici [Unità variabili] - $\mathbf{F}_{\tau}$: Forza apparente di trascinamento [$N$] - $\mathbf{F}_c$: Forza apparente di Coriolis [$N$] - $\mathbf{a}_O$: Accelerazione dell'origine del sistema mobile [$m/s^2$] - $\mathbf{g}$: Accelerazione di gravità locale [$m/s^2$] - $\mu$: Massa ridotta nel problema dei due corpi [$kg$] - $\mathscr{L}$: Funzione Lagrangiana ($T+U$) [$J$] - $Q_k$: Componente lagrangiana delle forze attive (Forza generalizzata) [Unità variabile, es. $N$ o $N \cdot m$] - $\tau_k$: Componente lagrangiana delle forze d'inerzia [Unità variabile] - $p_k$: Momento cinetico coniugato alla coordinata $q_k$ [Unità variabile, es. $kg \cdot m/s$ o $kg \cdot m^2/s$] - $\mathscr{H}$: Funzione Hamiltoniana [$J$] - $S$: Azione (funzionale integrale) [$J \cdot s$] - $\mathscr{D}$: Funzione di dissipazione di Rayleigh [$W$]