*Per ulteriori indicazioni consultare: - *Riepilogo dei risultati del [[!Meccanica Razionale#Bibliografia|Turzi]] (I)* - *Riepilogo dei risultati del [[!Meccanica Razionale#Bibliografia|Turzi]] (II)* --- ### Formulario #### Capitolo 1: Geometria delle masse | Formula | Descrizione | Utilizzo e Importanza | | :--- | :--- | :--- | | $m(\mathscr{B}) = \int_{\mathscr{B}} \varrho(P) d\tau$ | Massa totale di un corpo continuo | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Si utilizza per calcolare la massa totale integrando la densità sul volume, superficie o linea. | | $I_a = I_{a_G} + m d^2$ | Teorema di Huygens-Steiner | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Fondamentale per calcolare il momento d'inerzia rispetto a un asse traslato di una distanza $d$ rispetto all'asse baricentrico parallelo. | | $I_u = I_x \alpha^2 + I_y \beta^2 + I_z \gamma^2 + 2 I_{xy} \alpha \beta + 2 I_{xz} \alpha \gamma + 2 I_{yz} \beta \gamma$ | Momento d'inerzia rispetto ad asse concorrente | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Si applica per trovare l'inerzia lungo una direzione generica definita dai coseni direttori $\alpha, \beta, \gamma$. | | $I_u = \mathbf{u} \cdot \mathbf{I}_O \mathbf{u}$ | Momento d'inerzia (forma tensoriale) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Utilizzato per calcolare l'inerzia direzionale tramite prodotto matriciale con il tensore d'inerzia. | | $I_{uv} = \mathbf{u} \cdot \mathbf{I}_O \mathbf{v}$ | Prodotto d'inerzia tra due assi | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Calcola il prodotto d'inerzia per due direzioni generiche $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v}$. | | $I_x x^2 + I_y y^2 + I_z z^2 + 2 I_{xy} xy + 2 I_{xz} xz + 2 I_{yz} yz = 1$ | Equazione dell'ellissoide d'inerzia | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Rappresentazione geometrica del tensore d'inerzia per lo studio qualitativo delle masse. | | $I_{a_2} = \frac{1}{d^2} + m(d_2^2 - d_1^2)$ | Momento d'inerzia per assi generici | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Calcolo dell'inerzia per un asse non passante per l'origine sfruttando l'ellissoide. | | $I_{z}=I_{x}+I_{y}$ | Momento d'inerzia polare (sistemi piani) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Semplifica il calcolo dell'inerzia ortogonale per lamine piane. | | $I_{1,2} = \frac{1}{2} \left( I_x + I_y \pm \sqrt{(I_x - I_y)^2 + 4I_{xy}^2} \right)$ | Momenti principali d'inerzia (sistemi piani) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Calcola gli autovalori del tensore d'inerzia 2D per trovare le direzioni di massima/minima inerzia. | #### Capitolo 2: Forze, Lavoro ed energia | Formula | Descrizione | Utilizzo e Importanza | | :----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | :------------------------------------------- | :------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | | $\mathbf{p} = m\mathbf{v}$ | Quantità di moto (punto materiale) | **Definizione Operativa**: Calcolo dello stato dinamico traslazionale di una singola particella. | | $\mathbf{Q} = \sum_{i=1}^{n} m_i \mathbf{v}_i$ | Quantità di moto (sistema discreto) | **Definizione Operativa**: Somma vettoriale per sistemi a più corpi. | | $\mathbf{Q}=\int_{\mathcal{B}} \varrho \mathbf{v} d \tau$ | Quantità di moto (sistema continuo) | **Definizione Operativa**: Integrazione del campo di velocità pesato sulla densità. | | $\mathbf{Q} = m \mathbf{v}_G$ | Quantità di moto e baricentro | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Semplifica drasticamente il calcolo di $\mathbf{Q}$ studiando solo la cinematica del baricentro. | | $\mathbf{J}(t, t_0) = \int_{t_0}^{t} \mathbf{F}(t) dt$ | Impulso di una forza | **Definizione Operativa**: Calcolo dell'effetto cumulato di una forza nel tempo (es. urti). | | $\Delta \mathbf{p} = \mathbf{p}_f - \mathbf{p}_0 = \mathbf{J}$ | Teorema dell'impulso | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Lega la variazione di quantità di moto all'impulso applicato. | | $\mathbf{M}_O = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$ | Momento di una forza | **Definizione Operativa**: Calcolo dell'attitudine di una forza a generare rotazione rispetto al polo $O$. | | $\mathbf{L}_O = \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v}$ | Momento angolare (punto materiale) | **Definizione Operativa**: Calcolo dello stato dinamico rotazionale. | | $M = F \cdot b$ | Modulo del momento | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Calcolo scalare rapido tramite il braccio $b$. | | $\mathbf{M}_O = \frac{d\mathbf{L}_O}{dt}$ | Teorema del momento angolare | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Equazione di bilancio per la dinamica rotazionale. | | $\mathbf{K}_{Q}=\sum_{i=1}^{n} \mathbf {Q P}_{i} \wedge m_{i} \mathbf{v}_{i}$ | Momento angolare (sistema discreto) | **Definizione Operativa**: Somma dei momenti angolari rispetto al polo $Q$. | | $\mathbf{K}_Q = \vec{QG} \times \mathbf{Q} + \mathbf{K}^{rel}$ | Teorema di König (momento angolare) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Scompone il momento angolare nel contributo traslazionale del baricentro e in quello relativo. | | $\mathbf{K}_Q = m \vec{QG} \times \mathbf{v}_Q + \mathbf{I}_Q \boldsymbol{\omega}$ | Momento angolare (corpo rigido) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Calcolo operativo per un atto di moto rigido. | | $\mathbf{K}_G = \mathbf{I}_G \boldsymbol{\omega}$ | Momento angolare baricentrico | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Forma semplificata quando il polo coincide col baricentro. | | $dL = \mathbf{F} \cdot d\mathbf{P}$ | Lavoro elementare | **Definizione Operativa**: Calcolo del lavoro per uno spostamento infinitesimo. | | $P(t) = \frac{dL}{dt} = \mathbf{F} \cdot \mathbf{v}$ | Potenza | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Calcolo del lavoro erogato nell'unità di tempo. | | $L_{AB} = f(B) - f(A)$ | Lavoro di forza conservativa | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Il lavoro dipende solo dagli estremi tramite la funzione potenziale $f$. | | $L_{AB} = \mathbf{F} \cdot \Delta\mathbf{s} = F \Delta s \cos \theta$ | Lavoro di forza costante | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Calcolo diretto per forze uniformi. | | $T = \frac{1}{2}mv^2$ | Energia cinetica (punto materiale) | **Definizione Operativa**: Calcolo dell'energia associata al moto. | | $W = \Delta T = T_f - T_i$ | Teorema delle forze vive | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Il lavoro totale eguaglia la variazione di energia cinetica. | | $T = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} m_i v_i^2$ | Energia cinetica (sistema) | **Definizione Operativa**: Somma delle energie cinetiche delle singole parti. | | $T = \frac{1}{2}mv_G^2 + T^{(G)}$ | Teorema di König (energia cinetica) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Scompone l'energia cinetica in traslazionale del baricentro e rotazionale relativa. | | $L = \int_{P_1}^{P_2} dU = U(P_2) - U(P_1)$ | Lavoro e potenziale | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Integrazione del differenziale esatto per campi conservativi. | | $V = -U$ | Energia potenziale | **Definizione Operativa**: Relazione standard tra energia potenziale e funzione potenziale. | | $\Delta V = V(B) - V(A) = -L_{AB} = -\int_A^B \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s}$ | Variazione di energia potenziale | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Calcolo della variazione di energia potenziale tramite il lavoro. | | $E_M=E_k+E_p$ | Energia meccanica | **Definizione Operativa**: Somma dell'energia cinetica e potenziale. | | $\Delta E_M=\Delta E_k+\Delta E_p=0$ | Conservazione dell'energia meccanica | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Principio di conservazione valido in assenza di forze dissipative. | | $\Delta E_M= W_{NC} \quad => \quad (\Delta E_k+\Delta E_p) -W_{NC} =0$ | Bilancio energetico | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Equazione generale in presenza di forze non conservative (es. attrito). | | $\Delta E_k + \Delta E_p = W_{est} - Q$ | Bilancio energetico generalizzato | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Inclusione esplicita del calore dissipato e del lavoro esterno. | | $\int_{A, \gamma_1}^B \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{d} s=\int_{A, \gamma_2}^B \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{d} \boldsymbol{s}$ | Indipendenza dal percorso | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Proprietà integrale dei campi conservativi. | | $\oint_\gamma \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{d} \boldsymbol{s}=0$ | Lavoro nullo su percorso chiuso | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Condizione equivalente per la conservatività. | | $\nabla \times \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}$ | ==Condizione di irrotazionalità== | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Condizione differenziale necessaria per l'esistenza di un potenziale. | | $\mathbf {O P} \wedge \mathbf{F}(P)=\mathbf{0} \quad \forall P$ | Forza centrale | **Definizione Operativa**: Condizione vettoriale che definisce un campo di forze centrali. | | $\mathbf{R} = \sum_{i=1}^{n} \mathbf{f}_i$ | Risultante di un sistema di forze | **Definizione Operativa**: Somma vettoriale di tutte le forze applicate. | | $\mathbf{M}_O = \sum_{i=1}^{n} (P_i - O) \wedge \mathbf{f}_i$ | Momento risultante | **Definizione Operativa**: Somma dei momenti rispetto al polo $O$. | | $\mathbf{M}_Q = \mathbf{M}_O + (O - Q) \wedge \mathbf{R}$ | Legge di variazione del polo | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Formula di trasporto per calcolare il momento rispetto a un nuovo polo $Q$. | | $I = \mathbf{R} \cdot \mathbf{M}_O$ | Invariante scalare | **Definizione Operativa**: Proiezione del momento lungo la direzione del risultante (indipendente dal polo). | | $\mathbf{P}(\lambda) = \frac{\mathbf{R} \wedge \mathbf{M}_O}{R^2} + \lambda \mathbf{R}$ | Asse centrale | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Equazione parametrica della retta in cui il momento è parallelo al risultante. | | $dL = \mathbf{R} \cdot dQ + \mathbf{M}_{Q} \cdot \boldsymbol{\epsilon}$ | Lavoro elementare (corpo rigido) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Calcolo del lavoro tramite i vettori caratteristici del sistema di forze. | | $\Pi = \mathbf{R} \cdot \mathbf{v}_{Q} + \mathbf{M}_{Q} \cdot \boldsymbol{\omega}$ | Potenza (corpo rigido) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Calcolo della potenza tramite i vettori caratteristici e cinematici. | | $\delta L=\sum_{i=1}^{n} \mathbf{F}_{i} \cdot \delta P_{i}$ | Lavoro virtuale | **Definizione Operativa**: Lavoro calcolato su spostamenti virtuali compatibili con i vincoli. | | $\delta L = \sum_{h=1}^{N} Q_{h} \delta q_{h}$ | Lavoro virtuale (coordinate libere) | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Espressione del lavoro virtuale nello spazio delle configurazioni. | | $Q_{h} = \sum_{i=1}^{n} \mathbf{F}_{i} \cdot \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}}$ | Forza generalizzata | **Definizione Operativa**: Proiezione delle forze attive sulle coordinate libere (componente lagrangiana). | | $Q_{h} = \frac{\partial U}{\partial q_{h}}$ | ==Forza generalizzata (forze conservative)== | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Calcolo diretto delle componenti lagrangiane derivando il potenziale. | | $\mathbf{F} = m \mathbf{a}$ | Equazione fondamentale della dinamica | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Secondo principio della dinamica di Newton. | | $F_{12}=-F_{21}$ | Principio di azione e reazione | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Terzo principio della dinamica. | | $F_s \le \mu_s N$ | Attrito statico | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Condizione di aderenza di Coulomb-Morin. | | $F_d = \mu_d N$ | Attrito dinamico | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Modulo della forza resistente durante lo strisciamento. | | $\mathbf{F}_v = -\beta \mathbf{v}$ | Attrito viscoso lineare | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Forza resistente in regime laminare nei fluidi. | #### Capitolo 3: Statica | Formula | Descrizione | Utilizzo e Importanza | | :-------------------------------------------------------------------------------------------------- | :------------------------------------------ | :------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | | $\mathbf{F} = \mathbf{0}$ | Equilibrio punto libero | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Condizione necessaria e sufficiente di quiete per un punto non vincolato. | | $\mathbf{F} + \mathbf{\Phi} = \mathbf{0}$ | Equilibrio punto vincolato | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Condizione di quiete includendo le reazioni vincolari. | | $\|\Phi_{t}\| \leq f_{s} \|\Phi_{n}\|$ | Condizione di aderenza | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Verifica dell'equilibrio su superfici scabre (cono d'attrito). | | $\begin{cases} \mathbf{R}^{(e)} = \mathbf{0} \\ \mathbf{M}_{\Omega}^{(e)} = \mathbf{0} \end{cases}$ | Equazioni cardinali della statica | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Condizione necessaria (e sufficiente per il corpo rigido) per l'equilibrio globale. | | $\delta L^{(a)} \leq 0 \quad \forall \delta P$ | ==Principio dei Lavori Virtuali (PLV)== | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Condizione di equilibrio per sistemi a vincoli ideali (anche unilateri). | | $\delta L^{(a)} = 0 \quad \forall \delta P \text{ reversibile}$ | PLV per vincoli bilateri | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Ricerca delle configurazioni di equilibrio annullando il lavoro virtuale. | | $\nabla U(\mathbf{q}) = \mathbf{0}$ | ==Teorema di stazionarietà del potenziale== | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Ricerca delle configurazioni di equilibrio per sistemi conservativi (punti critici). | | $Q(q, \lambda) = \frac{\partial U}{\partial q}(q, \lambda) = 0$ | Condizione di equilibrio parametrica | **Relazione Fondamentale o Teorema**: Utilizzata per tracciare i diagrammi di biforcazione al variare di $\lambda$. | ### Procedura generale **Esercizio tipo 1: Calcolo del baricentro e del tensore d'inerzia (Geometria delle masse)** 1. **Scelta del riferimento**: Fissa un sistema di assi cartesiani sfruttando eventuali assi o piani di simmetria materiale (che annullano i prodotti d'inerzia relativi). 2. **Scomposizione**: Dividi il corpo complesso in figure notevoli (rettangoli, dischi, aste). Tratta eventuali fori come "masse negative". 3. **Calcolo del Baricentro**: Calcola le coordinate di $G$ usando la media pesata delle posizioni dei baricentri delle singole figure: $x_G = \frac{\sum m_i x_{Gi}}{\sum m_i}$. 4. **Momenti d'inerzia locali**: Calcola i momenti d'inerzia di ogni figura rispetto ai propri assi baricentrici. 5. **Trasporto (Huygens-Steiner)**: Trasla i momenti d'inerzia di ogni figura rispetto al polo globale richiesto usando $I_a = I_{a_G} + m d^2$. 6. **Assemblaggio**: Somma i contributi per costruire la matrice del tensore d'inerzia $\mathbf{I}_O$. Se richiesto, diagonalizza la matrice per trovare gli assi principali. **Esercizio tipo 2: Studio dell'equilibrio di un sistema olonomo conservativo (Statica)** 1. **Analisi cinematica**: Identifica il numero di gradi di libertà del sistema e scegli le coordinate libere opportune $\mathbf{q} = (q_1, \dots, q_N)$. 2. **Vettori posizione**: Esprimi le coordinate dei punti di applicazione delle forze attive in funzione delle coordinate libere. 3. **Calcolo del Potenziale**: Scrivi la funzione potenziale totale $U(\mathbf{q})$ sommando i contributi di tutte le forze conservative (peso, molle, ecc.). 4. **Ricerca dell'equilibrio**: Calcola le forze generalizzate $Q_h = \frac{\partial U}{\partial q_h}$. Imponi il sistema $\nabla U(\mathbf{q}) = \mathbf{0}$ e risolvilo per trovare le configurazioni di equilibrio $\mathbf{q}^*$. 5. **Studio della stabilità**: Calcola la matrice Hessiana del potenziale valutata in $\mathbf{q}^*$. Applica il Teorema di Dirichlet: se è un massimo relativo isolato di $U$ (Hessiano definito negativo), l'equilibrio è stabile. **Esercizio tipo 3: Calcolo delle reazioni vincolari tramite svincolamento (PLV)** 1. **Svincolamento**: Rimuovi idealmente il vincolo di cui vuoi calcolare la reazione (es. un appoggio), introducendo un nuovo grado di libertà virtuale. 2. **Forza reattiva**: Sostituisci il vincolo rimosso con la corrispondente forza o coppia reattiva incognita $\mathbf{\Phi}$. 3. **Cinematica virtuale**: Esprimi gli spostamenti virtuali $\delta P_i$ dei punti di applicazione delle forze attive e del punto svincolato in funzione della nuova coordinata libera. 4. **Equazione del PLV**: Scrivi l'equazione del lavoro virtuale totale includendo la reazione incognita: $\delta L = \sum \mathbf{F}_i \cdot \delta P_i + \mathbf{\Phi} \cdot \delta P_{\Phi} = 0$. 5. **Risoluzione**: Semplifica lo spostamento virtuale (che è arbitrario e non nullo) e risolvi l'equazione algebrica per ricavare il valore di $\mathbf{\Phi}$ nella configurazione di equilibrio. ### Legenda --- - $m$: Massa del corpo o del punto materiale [$kg$] - $\varrho$: Densità volumetrica di massa [$kg/m^3$] - $I_a$: Momento d'inerzia rispetto all'asse $a$ [$kg \cdot m^2$] - $\mathbf{I}_O$: Tensore (o matrice) d'inerzia rispetto al polo $O$ [$kg \cdot m^2$] - $\mathbf{p}$: Quantità di moto di un punto materiale [$kg \cdot m/s$] - $\mathbf{Q}$: Quantità di moto totale di un sistema [$kg \cdot m/s$] - $\mathbf{J}$: Impulso di una forza [$N \cdot s$] - $\mathbf{F}$: Forza attiva o risultante delle forze [$N$] - $\mathbf{M}_O$: Momento di una forza o momento risultante rispetto al polo $O$ [$N \cdot m$] - $\mathbf{L}_O$: Momento angolare di un punto materiale rispetto al polo $O$ [$kg \cdot m^2/s$] - $\mathbf{K}_Q$: Momento angolare totale di un sistema rispetto al polo $Q$ [$kg \cdot m^2/s$] - $L$: Lavoro meccanico [$J$] - $P(t)$ o $\Pi$: Potenza meccanica [$W$] - $T$ o $E_k$: Energia cinetica [$J$] - $U$: Funzione potenziale delle forze conservative [$J$] - $V$ o $E_p$: Energia potenziale ($V = -U$) [$J$] - $E_M$: Energia meccanica totale [$J$] - $\mathbf{R}$: Risultante di un sistema di forze [$N$] - $I$: Invariante scalare di un sistema di forze [$N^2 \cdot m$] - $\delta L$: Lavoro virtuale [$J$] - $Q_h$: Forza generalizzata (o componente lagrangiana) associata alla coordinata $q_h$ [Unità variabile, es. $N$ o $N \cdot m$] - $q_h$: Coordinata libera generalizzata [Unità variabile, es. $m$ o $rad$] - $\mathbf{\Phi}$: Reazione vincolare [$N$] - $\mu_s$ o $f_s$: Coefficiente di attrito statico [Adimensionale] - $\mu_d$: Coefficiente di attrito dinamico [Adimensionale]