Le **formule di Poisson** descrivono la variazione temporale dei versori di una terna solidale a un corpo in [[Moti rigidi|moto rigido]], introducendo il concetto fondamentale di [[Velocità e accelerazione angolari|velocità angolare]]. In un sistema in [[Cinematica del corpo rigido|moto rigido]], si consideri una [[Cinematica del corpo rigido|terna ortonormale solidale]] $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\}$ al corpo. *Poiché la terna è solidale, le distanze e gli angoli tra i versori rimangono costanti nel tempo, ma il loro orientamento rispetto a un osservatore fisso può variare.* Le formule di Poisson stabiliscono che esiste un unico vettore $\boldsymbol{\omega}$, detto **velocità angolare**, tale che la [[Derivata|derivata]] temporale di ciascun versore sia data dal [[Prodotto vettoriale|prodotto vettoriale]] tra $\boldsymbol{\omega}$ e il versore stesso: $ \color {green} \dot{\mathbf{e}}_h = \frac{d\mathbf{e}_h}{dt} = \boldsymbol{\omega} \wedge \mathbf{e}_h, \quad h=1,2,3 $ Il vettore **velocità angolare** si può esprimere tramite il calcolo inverso come $ \vec\omega= \mathbf{e}_1 (\dot{\mathbf{e}}_2 \cdot \mathbf{e}_3) +\mathbf{e}_2(\dot{\mathbf{e}}_3 \cdot \mathbf{e}_1) +\mathbf{e}_3(\dot{\mathbf{e}}_1 \cdot \mathbf{e}_2) $ e si può dimostrare che ciò equivale a scrivere $\color {orange} \vec\omega=\frac{1}{2} \sum_{h=1}^3 \mathbf{e}_h \wedge \dot{\mathbf{e}}_h$ Infine, per un qualunque vettore $\mathbf{w}$ solidale al corpo rigido (ovvero con componenti costanti rispetto alla terna $\{\mathbf{e}_h\}$), vale la relazione: $ \color {green} \dot{\mathbf{w}}=\omega \wedge \mathbf{w} . $ Questa ultima proprietà è alla base della [[Caratterizzazione dei moti rigidi|legge di distribuzione delle velocità]] nei moti rigidi e del [[Teorema dei moti relativi]]. ##### Dimostrazione La dimostrazione si articola nella verifica dell'esistenza, dell'unicità e dell'indipendenza del vettore $\boldsymbol{\omega}$. ###### 1. Esistenza Definiamo $\boldsymbol{\omega}$ come nella formula esplicita sopra citata. Verifichiamo il caso $h=1$ calcolando $\boldsymbol{\omega} \wedge \mathbf{e}_1$: $ \boldsymbol{\omega} \wedge \mathbf{e}_1 = (\dot{\mathbf{e}}_2 \cdot \mathbf{e}_3) \mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_1 + (\dot{\mathbf{e}}_3 \cdot \mathbf{e}_1) \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_1 + (\dot{\mathbf{e}}_1 \cdot \mathbf{e}_2) \mathbf{e}_3 \wedge \mathbf{e}_1 $ Sapendo che $\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_1 = \mathbf{0}$, $\mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_1 = -\mathbf{e}_3$ e $\mathbf{e}_3 \wedge \mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_2$, otteniamo: $ \boldsymbol{\omega} \wedge \mathbf{e}_1 = -(\dot{\mathbf{e}}_3 \cdot \mathbf{e}_1) \mathbf{e}_3 + (\dot{\mathbf{e}}_1 \cdot \mathbf{e}_2) \mathbf{e}_2 $ Poiché la terna è ortonormale, $\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j = \delta_{ij}$. Derivando $\mathbf{e}_1 \cdot \mathbf{e}_3 = 0$ si ottiene $\dot{\mathbf{e}}_1 \cdot \mathbf{e}_3 + \mathbf{e}_1 \cdot \dot{\mathbf{e}}_3 = 0$, quindi $-(\dot{\mathbf{e}}_3 \cdot \mathbf{e}_1) = \dot{\mathbf{e}}_1 \cdot \mathbf{e}_3$. Sostituendo: $ \boldsymbol{\omega} \wedge \mathbf{e}_1 = (\dot{\mathbf{e}}_1 \cdot \mathbf{e}_3) \mathbf{e}_3 + (\dot{\mathbf{e}}_1 \cdot \mathbf{e}_2) \mathbf{e}_2 + (\dot{\mathbf{e}}_1 \cdot \mathbf{e}_1) \mathbf{e}_1 = \dot{\mathbf{e}}_1 $ Il termine $(\dot{\mathbf{e}}_1 \cdot \mathbf{e}_1)$ è nullo poiché la norma del versore è costante. La somma rappresenta la scomposizione di $\dot{\mathbf{e}}_1$ sulla base $\{\mathbf{e}_h\}$. ###### 2. Unicità Se esistesse un altro vettore $\boldsymbol{\omega}^*$ tale che $\dot{\mathbf{e}}_h = \boldsymbol{\omega}^* \wedge \mathbf{e}_h$, allora $(\boldsymbol{\omega} - \boldsymbol{\omega}^*) \wedge \mathbf{e}_h = \mathbf{0}$ per ogni $h$. Un vettore che è contemporaneamente parallelo a tre versori ortonormali deve necessariamente essere il vettore nullo, dunque $\boldsymbol{\omega} = \boldsymbol{\omega}^*$. ###### 3. Indipendenza dalla terna Consideriamo una seconda terna solidale $\{\mathbf{e}'_h\}$. Poiché ogni $\mathbf{e}'_h$ è un vettore solidale, esso soddisfa $\dot{\mathbf{e}}'_h = \boldsymbol{\omega} \wedge \mathbf{e}'_h$ come dimostrato nella generalizzazione. Pertanto, lo stesso vettore $\boldsymbol{\omega}$ descrive la rotazione di qualsiasi terna solidale al corpo. ### Esempi ed esercizi ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Dimostra le formule di Poisson - [ ] Ricavare la formula sommaria $\boldsymbol{\omega} = \frac{1}{2} \sum \mathbf{e}_h \wedge \dot{\mathbf{e}}_h$ utilizzando l'identità del doppio prodotto vettoriale *Consultare le risorse selezionate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ##### Esempi ed esercizi **Risolvere i seguenti esempi ed esercizi:** - [ ] Esercizio 14.3 | Appunti del prof Turzi *Consultare le risorse selezionate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]