Nello studio della dinamica dei sistemi materiali, le forze agenti vengono classificate in interne ed esterne. Questa distinzione è fondamentale per formulare le equazioni del moto, in quanto le forze interne, obbedendo al principio di azione e reazione, presentano proprietà globali che semplificano notevolmente l'analisi meccanica. ### Classificazione delle Forze Consideriamo un sistema materiale isolato $\mathscr{S}$ composto da molteplici punti materiali. È spesso conveniente suddividere idealmente il sistema in due o più sottosistemi, ad esempio $\mathscr{S}_1$ e $\mathscr{S}_2$. - **Forze interne ($\mathbf{F}^{(i)}$)**: Sono le forze di mutua interazione tra i punti appartenenti allo stesso sottosistema in esame (es. tra i punti di $\mathscr{S}_1$). - **Forze esterne ($\mathbf{F}^{(e)}$)**: Sono le forze esercitate sui punti del sottosistema in esame da parte di corpi o punti materiali non appartenenti ad esso (es. l'azione di $\mathscr{S}_2$ su $\mathscr{S}_1$). Se la massa dei punti di $\mathscr{S}_2$ è preponderante rispetto a quella di $\mathscr{S}_1$ (come la Terra rispetto a una mela in caduta libera), il moto di $\mathscr{S}_2$ è approssimabile come inalterato dalle interazioni con $\mathscr{S}_1$. In tal caso, l'azione di $\mathscr{S}_2$ viene modellata tramite un campo di forze esterne dipendente esplicitamente dal tempo, trascurando la retroazione. #### Equazione Fondamentale per i sistemi Per un generico punto materiale $P_i$ di massa $m_i$ appartenente al sistema $\mathscr{S}_1$, l'equazione del moto assume la forma: $ m_i \mathbf{a}_i = \sum_{j \neq i \in \mathscr{S}_1} \mathbf{F}_{ij}^{(i)}(P_i, P_j, \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j) + \sum_{h \in \mathscr{S}_2} \mathbf{F}_{ih}^{(e)}(P_i, \mathbf{v}_i, t) $ Il primo termine a secondo membro rappresenta il **risultante delle forze interne** agenti su $P_i$, mentre il secondo è il **risultante delle forze esterne.** Se il sistema è costituito da un singolo punto materiale, le forze interne sono nulle e si ritrova l'**equazione fondamentale della dinamica.** #### Lavoro e potenza delle forze interne Una proprietà cruciale delle forze interne riguarda il loro lavoro meccanico. Poiché le forze interne tra due punti $P_i$ e $P_j$ sono uguali e contrarie e dirette lungo la retta congiungente, esse compiono lavoro solo se la distanza relativa tra i due punti varia nel tempo. ==Di conseguenza, in un [[Cinematica del corpo rigido|corpo rigido]], dove le distanze reciproche tra i punti sono costanti per definizione, il [[Lavoro e potenza|lavoro]] complessivo (e la potenza) delle forze interne è rigorosamente nullo.== Nei sistemi deformabili, invece, il lavoro delle forze interne è generalmente diverso da zero e contribuisce alla variazione dell'energia interna del sistema. ### Il Punto di Vista di Mach Un approccio assiomatico alternativo alla meccanica newtoniana fu proposto da Ernst Mach. Invece di postulare la massa e la forza come concetti primitivi, Mach definisce la massa inerziale operativamente, osservando la cinematica di coppie isolate di punti materiali. #### Postulato per coppie isolate Se due punti $P_1$ e $P_2$ costituiscono un sistema isolato, le loro accelerazioni misurate in un riferimento inerziale hanno la stessa direzione (la retta congiungente), versi opposti e il rapporto delle loro intensità è una costante caratteristica della coppia: $ \frac{a_1}{a_2} = \sigma(P_1, P_2) $ Assumendo la transitività di questo rapporto per terne di punti, Mach definisce la massa $m_i$ come una classe di equivalenza. Da questa definizione puramente cinematica, si ricava l'equazione: $ m_1 \mathbf{a}_1 + m_2 \mathbf{a}_2 = \mathbf{0} $ Definendo i [[Vettori|vettori]] forza come $\mathbf{F}_i = m_i \mathbf{a}_i$, il [[Principi della meccanica|principio di azione e reazione]] ($\mathbf{F}_1 = -\mathbf{F}_2$) non è più un postulato indipendente, ma una diretta conseguenza della definizione di massa. Questo approccio si estende poi ai sistemi a $N$ corpi, giustificando il principio di sovrapposizione delle forze come un'estensione delle interazioni a coppie. ### Esempi ed esercizi Immagina di essere seduto all'interno di un'automobile ferma e di spingere con tutte le tue forze contro il cruscotto. L'auto non si muoverà di un millimetro. Perché? Perché la tua spinta sul cruscotto e la reazione del sedile sulla tua schiena sono **forze interne** al sistema "auto + passeggero". Per il principio di azione e reazione, queste forze si annullano a vicenda nel bilancio globale del sistema. Per far muovere l'auto, devi scendere e spingerla da fuori, appoggiando i piedi a terra: in questo modo sfrutti l'attrito con l'asfalto, che è una **forza esterna** al sistema auto, permettendo al centro di massa di accelerare. ##### Domande di teoria - Quando il lavoro delle forze interne è nullo? - Quanto vale la potenza delle forze interne? ##### Esercizi - Un sistema è composto da tre punti materiali $A, B, C$. Le forze interne note sono $\mathbf{F}_{AB} = 10\mathbf{i} \, N$ e $\mathbf{F}_{BC} = 5\mathbf{j} \, N$. Determinare i vettori forza $\mathbf{F}_{BA}$, $\mathbf{F}_{CB}$, $\mathbf{F}_{AC}$ e $\mathbf{F}_{CA}$ sapendo che il sistema è isolato e non vi sono altre interazioni interne. - Due punti materiali isolati $P_1$ e $P_2$ interagiscono tra loro. Si osserva che l'accelerazione di $P_1$ è $a_1 = 4 \, m/s^2$ e quella di $P_2$ è $a_2 = 2 \, m/s^2$. Utilizzando il postulato di Mach, determinare il rapporto tra le masse $m_1/m_2$. ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]