La geometria delle masse è la branca della [[!Meccanica Razionale|meccanica]] che studia la distribuzione della massa nei sistemi materiali, definendo le proprietà inerziali necessarie per prevedere la risposta dinamica di un corpo soggetto a sollecitazioni esterne. ### Massa Mentre la [[Cinematica del corpo rigido|cinematica]] si occupa di descrivere il moto attraverso [[!Geometria|coordinate]] e vincoli, la statica e la dinamica richiedono la comprensione di come i corpi reagiscono alle forze. L'esperienza mostra che sistemi con identica geometria possono fornire risposte cinematiche differenti se sottoposti alla medesima sollecitazione; tale differenza è determinata dalla **massa**, una quantità scalare positiva che misura l'**inerzia** rispetto al moto traslazionale. Nel modello di corpo continuo, i punti che compongono il sistema sono particelle prive di massa individuale. La massa è una proprietà associata esclusivamente a insiemi di particelle che occupano una regione con misura non nulla. ### Densità di massa Nei sistemi estesi, la massa non è concentrata in un singolo punto ma si distribuisce in una regione dello spazio. Per descrivere tale distribuzione si introduce la funzione **densità** $\varrho(P)$, che rappresenta la massa per unità di misura (volume, superficie o lunghezza) in un punto $P$. Possiamo quindi definire la **densità di massa** di un corpo come la funzione dei punti dello spazio data dal limite del rapporto tra la massa contenuta in un volume centrato in un punto P ed il volume stesso $ \rho (x,y,z)=lim_{V\rightarrow0}\frac mV=\frac {dm}{dV} $ Si possono analogamente dare le definizioni di densità superficiale (in 2 dimensioni) e densità lineare (in 1 dimensione) - **Densità superficiale**: $\sigma(x,y)=\frac {dm}{dS}$ - **Densità lineare**: $\lambda(x)=\frac {dm}{dl}$ A seconda della natura del corpo, la densità assume diverse dimensioni fisiche: - **Densità volumetrica**: $[ML^{-3}]$, per corpi tridimensionali. - **Densità superficiale**: $[ML^{-2}]$, per gusci o lamine sottili. - **Densità lineare**: $[ML^{-1}]$, per fili o travi. La massa totale di una porzione $\mathscr{B}$ del sistema è calcolata tramite un [[!Analisi|integrale]] di volume, superficie o linea: $\color {green} m(\mathscr{B}) = \int_{\mathscr{B}} \varrho(P) d\tau$ Dove $d\tau$ rappresenta l'elemento infinitesimo di integrazione (volume/superficie/lunghezza). #### Corpi omogenei Un corpo si definisce **omogeneo** se la sua densità $\varrho$ è costante in ogni punto. In questo caso, la densità coincide con il rapporto tra la massa totale $M$ e la misura totale del corpo $V$ (volume, area o lunghezza): $\varrho = \frac{M}{V}$ ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Che cosa è la densità di massa di un corpo? - [ ] Una particella (punto geometrico del corpo) può avere una massa? *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]