L'**Hamiltoniana** è una funzione fondamentale della [[Meccanica Lagrangiana]] e della meccanica analitica in generale. Essa rappresenta una trasformazione della Lagrangiana che, sotto specifiche condizioni, coincide con l'energia meccanica totale del sistema e fornisce un potente strumento per individuare integrali primi del moto. ### Definizione e derivata temporale Per un sistema olonomo descritto dalle [[Coordinate libere e gradi di libertà|coordinate libere]] $q_1, \dots, q_N$, l'Hamiltoniana $\mathscr{H}$ è definita come: $\color {orange} \mathscr{H}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t) = \sum_{k=1}^{N} \dot{q}_k \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_k} - \mathscr{L} $ dove $\mathscr{L}$ è la funzione Lagrangiana e il termine $\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_k}$ rappresenta il [[Integrali primi lagrangiani|momento cinetico]] $p_k$. Una proprietà cruciale dell'Hamiltoniana riguarda la sua evoluzione temporale. Derivando $\mathscr{H}$ rispetto al tempo e sfruttando le [[Equazioni di Lagrange]], si dimostra che la derivata totale dell'Hamiltoniana è pari all'opposto della derivata parziale della Lagrangiana rispetto al tempo: $\color {green} \frac{d \mathscr{H}}{dt} = -\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial t} $ Questa relazione implica che **se la Lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo, l'Hamiltoniana si conserva** ($\mathscr{H} = \text{costante}$). Ciò si verifica tipicamente quando i [[Vincoli]] sono fissi (scleronomi) e le forze attive non dipendono esplicitamente dal tempo. #### Teorema dell'energia Quando i vincoli sono fissi e le forze attive sono [[Forze conservative|conservative]], l'Hamiltoniana assume un significato fisico ben preciso: essa coincide con l'[[Principio di conservazione dell'energia meccanica|energia meccanica]] del sistema $E = T - U$. La dimostrazione di questo teorema si basa sulle proprietà delle funzioni omogenee e sul Teorema di Eulero. L'[[Energia cinetica]] $T$ di un sistema olonomo può essere scritta come somma di tre termini: $T = T_2 + T_1 + T_0$, dove $T_2$ è quadratico (omogeneo di grado 2) nelle velocità generalizzate $\dot{q}_k$, $T_1$ è lineare (grado 1) e $T_0$ è indipendente dalle velocità (grado 0). Applicando il Teorema di Eulero al primo termine della definizione di $\mathscr{H}$, si ottiene: $ \sum_{k=1}^{N} \dot{q}_k \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_k} = \sum_{k=1}^{N} \dot{q}_k \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_k} = 2T_2 + T_1 $ Sostituendo questo risultato nella definizione di $\mathscr{H}$ e ricordando che $\mathscr{L} = T + U$, si ricava: $ \mathscr{H} = (2T_2 + T_1) - (T_2 + T_1 + T_0 + U) = T_2 - T_0 - U $ Se i vincoli sono fissi, i termini $T_1$ e $T_0$ sono nulli, per cui $T = T_2$. Di conseguenza, l'Hamiltoniana si riduce a: $ \color {green} \mathscr{H} = T - U = E $ ### Esempi ed esercizi Immagina un pendolo attaccato al soffitto di un treno. - **Caso 1: Il treno è fermo**. I vincoli sono fissi. L'energia totale del pendolo (cinetica + potenziale) si conserva. La Lagrangiana non dipende dal tempo, quindi l'Hamiltoniana si conserva e coincide esattamente con l'energia meccanica. - **Caso 2: Il treno accelera**. Il punto di sospensione si muove, quindi il vincolo dipende dal tempo. La Lagrangiana ora ha il tempo $t$ scritto esplicitamente al suo interno. L'Hamiltoniana *non* si conserva più (il treno sta immettendo energia nel sistema pendolo). Inoltre, l'Hamiltoniana calcolata matematicamente non coinciderà più con la semplice somma $T+V$, perché compariranno i termini $T_1$ e $T_0$ dovuti al movimento del treno. ##### Domande di teoria - Qual è la relazione matematica tra la derivata temporale totale dell'Hamiltoniana e la derivata parziale della Lagrangiana rispetto al tempo? - Spiega perché, in presenza di vincoli mobili, l'Hamiltoniana non coincide con l'energia meccanica totale del sistema. - Come si utilizza il Teorema di Eulero sulle funzioni omogenee per dimostrare l'identità tra Hamiltoniana ed energia meccanica? ##### Esempi ed esercizi **Risolvere i seguenti esempi ed esercizi:** - [ ] Esempi ed esercizi | Lezioni 60-61 Turzi - [ ] Esempio con disco omogeneo che rotola con asta incernierata | Biscari *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!example] Playlist > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Meccanica Hamiltoniana]]