Le [[Equazioni di Lagrange]] formano un sistema di equazioni differenziali del secondo ordine spesso non integrabile analiticamente. Tuttavia, l'analisi della struttura della funzione Lagrangiana permette di individuare grandezze fisiche che si conservano nel tempo, note come **integrali primi del moto**, semplificando drasticamente la risoluzione del problema dinamico. ### Coordinate cicliche e momenti cinetici Quando la Lagrangiana $\mathscr{L}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t)$ non dipende esplicitamente da una specifica coordinata libera $q_k$, tale variabile prende il nome di **coordinata ciclica** (o ignorabile). In termini matematici, ciò significa che la derivata parziale della Lagrangiana rispetto a $q_k$ è nulla: $ \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_k} = 0 $ Sostituendo questa condizione nell'$k$-esima equazione di Lagrange, si ottiene: $ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_k}\right) = 0 \quad \Longrightarrow \quad \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_k} = \text{costante} $ La quantità che si conserva nel tempo è definita **momento cinetico** (o momento coniugato) associato alla coordinata $q_k$: $ p_k = \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_k} $ Poiché l'[[Energia potenziale|energia potenziale]] $U$ dipende tipicamente solo dalle posizioni e non dalle velocità, la derivata rispetto a $\dot{q}_k$ agisce esclusivamente sull'[[Energia cinetica|energia cinetica]] $T$. Di conseguenza, i momenti cinetici dipendono al più linearmente dalle velocità generalizzate: $ p_k = \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_k} = \sum_{j=1}^{N} a_{jk}(\mathbf{q}, t) \dot{q}_j + b_k(\mathbf{q}, t) $ #### Esempi fisici di conservazione La conservazione dei momenti cinetici ha interpretazioni fisiche dirette a seconda della natura della coordinata ciclica: 1. **Integrale della quantità di moto**: Se un punto materiale libero è soggetto a un potenziale che non dipende da una coordinata cartesiana (es. $x$), tale coordinata è ciclica. Il momento cinetico associato coincide con la componente della [[Forza e quantità di moto|quantità di moto]] lungo quella direzione: $\color {green} p_x = m\dot{x} = \text{costante}$ 2. **Integrali del momento angolare**: Nello studio del corpo rigido tramite gli [[Angoli di Eulero|angoli di Eulero]] $\{\theta, \psi, \phi\}$, se i [[Assi e momenti principali d'inerzia|momenti principali d'inerzia]] e il potenziale permettono di ignorare l'angolo di precessione $\psi$, si conserva la componente del [[Momento di una forza e Momento angolare|momento angolare]] baricentrale lungo l'asse fisso verticale: $\color {green} p_\psi = \frac{\partial T}{\partial \dot{\psi}}=\mathbf{K}_G \cdot \mathbf{i}_3$. Se il corpo ha simmetria cilindrica ($I_{G1} = I_{G2}$) e l'angolo di rotazione propria $\phi$ è ciclico, si conserva la componente del momento angolare lungo l'asse di simmetria solidale: $\color {green} p_\phi =\frac{\partial T}{\partial \dot{\phi}}= \mathbf{K}_G \cdot \mathbf{e}_3$. L'angolo di nutazione $\theta$, invece, compare sempre nell'energia cinetica e non è mai ciclico. #### Hamiltoniana come integrale primo Un secondo fondamentale integrale primo deducibile dalla Lagrangiana è l'[[Hamiltoniana]]. Se la [[Equazioni di Lagrange|Lagrangiana]] di un sistema non dipende esplicitamente dal tempo ($\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial t} = 0$), si può dimostrare che la **funzione Hamiltoniana** $\color {orange} H = \sum_{k} p_k \dot{q}_k - \mathscr{L}$ si conserva lungo il moto. Per sistemi a vincoli fissi (scleronomi) e soggetti a forze conservative, la conservazione dell'Hamiltoniana coincide con il [[Principio di conservazione dell'energia meccanica|principio di conservazione dell'energia meccanica]] ($H = T + V = \text{costante}$). ### Esempi ed esercizi ##### Domande di teoria - Cos'è una coordinata ciclica (ignorabile) e qual è la sua conseguenza diretta sulle equazioni del moto di Lagrange? - Dimostra matematicamente perché il momento cinetico $p_k$ dipende esclusivamente dall'energia cinetica del sistema e non dal potenziale. - Sotto quali condizioni fisiche e matematiche l'Hamiltoniana rappresenta un integrale primo del moto? ##### Esempi ed esercizi - [ ] Esempi ed esercizi | Lezioni 60-61 Turzi ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]