Il lavoro elementare $dL$ di un [[Sistemi di forze|sistema di forze]] $\mathbf{F}_{i}$ applicate ai punti $P_{i}$ è definito come la somma dei contributi individuali: $dL = \sum_{i=1}^{n} \mathbf{F}_{i} \cdot dP_{i}$ In un sistema di punti materiali, le forze interne compiono lavoro solo se le distanze relative tra i punti variano. Di conseguenza, per un [[Cinematica del corpo rigido|corpo rigido]], il lavoro delle forze interne è nullo. #### Lavoro e potenza nel corpo rigido Per un corpo rigido, lo spostamento infinitesimo di ogni punto $P_i$ è vincolato dalla relazione cinematica $dP_{i} = dQ + \boldsymbol{\epsilon} \wedge (P_i - Q)$, dove $dQ$ è lo spostamento di un punto di riferimento $Q$ ed $\boldsymbol{\epsilon} = \boldsymbol{\omega} dt$ è il [[Caratterizzazione dei moti rigidi|vettore di rotazione infinitesima]]. Sostituendo questa espressione nella definizione di lavoro e applicando le proprietà del [[Prodotto scalare|prodotto scalare]] e misto, si ottiene: $\color {green} dL = \mathbf{R} \cdot dQ + \mathbf{M}_{Q} \cdot \boldsymbol{\epsilon}$ Dove $\mathbf{R}$ è il risultante e $\mathbf{M}_{Q}$ è il momento risultante rispetto a $Q$. Analogamente, la [[Lavoro e potenza|potenza]] $\Pi$ è espressa come: $\color {green} \Pi = \mathbf{R} \cdot \mathbf{v}_{Q} + \mathbf{M}_{Q} \cdot \boldsymbol{\omega}$ Questa formulazione dimostra che, per i corpi rigidi, il lavoro dipende esclusivamente dai **vettori caratteristici del sistema**. Pertanto, due [[Sistemi di forze#Riduzione e sistemi particolari di forze|sistemi di forze equivalenti]] compiono lo stesso lavoro. #### Lavoro di forze agenti su un sistema olonomo Il **lavoro virtuale** $\delta L$ di un sistema di forze, relativo agli [[Spostamenti e velocità virtuali|spostamenti virtuali]] $(\delta P_{i})$ è definito come $ \color {orange} \delta L=\sum_{i=1}^{n} \mathbf{F}_{i} \cdot \delta P_{i} $ In un [[Sistemi vincolati|sistema olonomo]] descritto da [[Coordinate libere e gradi di libertà|coordinate libere]] $q_1, \dots, q_N$, lo spostamento virtuale dipende dalle variazioni delle coordinate $\delta q_h$. $\delta P = \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial P}{\partial q_k} \delta q_k$ Il **lavoro virtuale** complessivo assume la forma: $\color {green} \delta L = \sum_{h=1}^{N} Q_{h} \delta q_{h}=\mathbf Q\cdot \delta q$ Il termine $\mathbf Q$ è definito come **forza generalizzata**, di cui $Q_h$ sono le sue **componenti lagrangiane** relativa alla coordinata $q_h$: $\color {orange} Q_{h} = \sum_{i=1}^{n} \mathbf{F}_{i} \cdot \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}}$ *Geometricamente, questo calcolo avviene nello [[Spazio delle configurazioni|spazio delle configurazioni]].* Se le forze sono **conservative**, il lavoro elementare diventa un differenziale esatto: $\delta L=\delta U$, e $d L=d U$. In questo caso le componenti lagrangiane si ricavano direttamente dal **potenziale** $U(q, t)$ tramite la [[Derivata|derivata parziale]]: $\color {green} Q_{h} = \frac{\partial U}{\partial q_{h}}$ ### Esempi ed esercizi Immagina che il tuo sistema meccanico sia una macchina complessa con diverse manopole ($q_h$). Ogni manopola controlla un movimento diverso (es. una traslazione o una rotazione). La "forza generalizzata" $Q_h$ è la misura di quanto "duro" è girare quella specifica manopola per compiere lavoro. Se sposti una manopola di un pezzetto $\delta q_h$, il lavoro fatto è semplicemente $Q_h \cdot \delta q_h$. Non importa quante forze reali agiscano sui singoli ingranaggi interni; tutto ciò che conta per l'energia è l'effetto combinato che senti sulla manopola che stai impugnando. ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Che cosa si intende per lavoro virtuale? - [ ] Perché il lavoro delle forze interne in un corpo rigido è sempre nullo? *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ##### Esempi ed esercizi **Risolvere i seguenti esempi ed esercizi:** - [ ] Calcola il lavoro di forze agenti su un corpo rigido / sistema olonomo / corpo vincolato | Biscari - [ ] Potenziale di una coppia | Biscari *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]