La legge di Coulomb-Morin definisce le condizioni di equilibrio statico per un [[!Meccanica Razionale|punto materiale]] vincolato a una [[Superfici|superficie]] scabra, ovvero una superficie in cui è presente una [[forza d'attrito]]. Essa stabilisce una relazione di disuguaglianza tra la componente tangenziale e quella normale della reazione vincolare. #### Piano inclinato Consideriamo un punto materiale $P$ vincolato a una superficie $\Sigma$ di equazione cartesiana $f(P)=0$, soggetto a una forza attiva $\mathbf{F}$. ![[Pasted image 20260506115631.png]] L'evidenza sperimentale ottenuta analizzando un punto su un piano inclinato con angolo $\alpha$ variabile mostra che l'equilibrio sussiste finché $\alpha$ non supera un valore critico $\varphi_{s}$, detto **angolo di attrito statico:** $0 \leq \alpha \leq \varphi_{s}$ Scomponendo la [[Reazioni vincolari|reazione vincolare]] $\boldsymbol{\Phi}$ nelle sue componenti tangenziale $\boldsymbol{\Phi}_{t}$ (attrito) e normale $\Phi_{n} \mathbf{n}$ (reazione normale), si ottiene la relazione: $|\Phi_{t}| = |\Phi_{n}| \tan \alpha$ Poiché la funzione tangente è monotona nell'intervallo $[0, \pi/2]$, la condizione di equilibrio si traduce nella disuguaglianza: $\color {green} |\Phi_{t}| \leq f_{s} |\Phi_{n}|$ dove $f_{s} = \tan \varphi_{s}$ è il coefficiente di attrito statico, una costante adimensionale dipendente dalla natura dei materiali a contatto. ![[Pasted image 20260410230840.png]] #### Reazioni vincolari in presenza di vincoli unilateri In presenza di un [[Vincoli di mobilità|vincolo unilatero]], dobbiamo definire un versore normale $\mathbf{n}$ orientato verso la regione di spazio permessa. La reazione vincolare deve soddisfare due condizioni: 1. **Condizione di aderenza**: $|\Phi_{t}| \leq f_{s} \Phi_{n}$ 2. **Condizione di non-attraversamento**: $\boldsymbol{\Phi} \cdot \mathbf{n} = \Phi_{n} \geq 0$ *Se $\Phi_{n} < 0$, il vincolo dovrebbe "tirare" il punto per mantenerlo sulla superficie, il che è fisicamente impossibile per un vincolo di semplice appoggio.* ### Analisi analitica dell'equilibrio Per determinare se una posizione $P$ sulla superficie è di equilibrio, si utilizza la funzione di attrito $\psi(P)$: $\psi(P) = |F_{t}| - f_{s} |F_{n}|$ dove $F_{t}$ e $F_{n}$ sono le componenti della forza attiva $\mathbf{F}$ proiettate rispettivamente sul piano tangente e lungo la normale alla superficie. Le configurazioni di equilibrio sono i punti che soddisfano il sistema: $\begin{cases} f(x, y, z) = 0 \\ \psi(x, y, z) \leq 0 \end{cases}$ Un coefficiente $f_{s}$ elevato amplia la regione di equilibrio; nel caso limite $f_{s} \rightarrow \infty$, ogni punto della superficie (tranne dove la forza è puramente tangenziale) diventa una posizione di equilibrio. La condizione $|\Phi_{t}| \leq f_{s} \Phi_{n}$ definisce una regione conica nello spazio, nota come [[!Meccanica Razionale|Cono d'attrito]]. L'equilibrio è possibile se e solo se la forza attiva $\mathbf{F}$ cade all'interno di questo cono, il cui semi-angolo di apertura è proprio $\varphi_{s}$. ### Esempi ed esercizi Immagina di appoggiare il tuo smartphone sopra un libro chiuso. - Se tieni il libro orizzontale, lo smartphone è fermo. La forza peso è bilanciata perfettamente dalla reazione normale del libro. - Inizia a inclinare il libro lentamente. Lo smartphone non scivola subito. L'attrito statico sta aumentando per contrastare la componente del peso che vorrebbe farlo scendere. - Continua a inclinare. Arriverai a un angolo preciso in cui lo smartphone inizia a scivolare. Quello è l'angolo limite $\varphi_{s}$. In quel momento, l'attrito ha raggiunto il suo valore massimo possibile ($f_{s} \Phi_{n}$). - Se il libro fosse di ghiaccio ($f_{s}$ quasi zero), lo smartphone scivolerebbe quasi subito. Se fosse coperto di gomma ($f_{s}$ alto), potresti inclinarlo molto di più. ##### Domande di teoria **Rispondere alle seguenti domande specifiche:** - [ ] Qual è il significato fisico del coefficiente di attrito statico $f_{s}$? - [ ] Perché la reazione normale $\Phi_{n}$ deve essere non negativa in un vincolo unilatero? - [ ] Come varia la regione di equilibrio al variare della rugosità della superficie? *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* ##### Esempi ed esercizi **Risolvere i seguenti esempi ed esercizi:** - [ ] Equilibrio di un punto materiale vincolato | Biscari - [ ] Un blocco di massa $2 \, kg$ è appoggiato su un piano con $f_{s} = 0.4$. Calcola l'angolo massimo di inclinazione del piano prima che il blocco scivoli. - [ ] Un punto materiale è in equilibrio su una calotta sferica scabra di raggio $R$. Determina l'altezza massima $h$ rispetto alla base della calotta a cui il punto può restare fermo, noto $f_{s}$. *Consultare le risorse consigliate in fondo alla nota per soluzioni e approfondimenti.* --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]]